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    {
      "text": "1.\nDéfinition et Notations • Application Linéaire : Une application f : E → F est dite linéaire si pour tous x , y ∈ E et tous λ , μ ∈ K (réel) , on a f(λx+μy)=λf(x)+μf(y) .\n• Notations : o L(E,F) : Ensemble des applications linéaires de E dans F .\no L(E) : Ensemble des applications linéaires de E dans E (endomorphismes).\nK:R2 - >R3, (x,y) - > (3x, X+y, - y) G: R 2 - >R 2 , x - > 2.x G(R2) H:R2 - >R2, x - >3.x H+G est une application linéaire H+G: R2 - >R2, x - >2.x + 3.x HoG: R2 - > R2 , x - > H(G(x)) On aurait donc G(2.\n( 3 ,4) + 3.\n( 4 ,1) ) égale à 2.G( (3,4) ) + 3.G( (4,1) ) si G est linéaire? Vérifions : G((6, 8) + (12,3)) = G((18, 11 ) ) = (36, 22) Calculs pour la partie à droite de l’égalité : 2.G((3,4)) + 3.G((4,1)) 2.\nExemples d'Applications Linéaires • Identité : id E :E→E, x↦x • Homothétie : Pour λ∈K , x ↦ λx .\n• Combinaison Linéaire : Toute combinaison linéaire d'applications linéaires est linéaire.\n• Composée d'Applications Linéaires : La composée de deux applications linéaires est linéaire.\n3.\nPropriétés des Applications Linéaires • Endomorphisme : Une application linéaire d’un espace dans lui - même est un endomorphisme.\n• Isomorphisme : Une application linéaire bijective.\nLa réciproque d'un isomorphisme est aussi linéaire.\n• Automorphisme : Un endomorphisme qui est aussi un isomorphisme.\n",
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    {
      "text": "4.\nNoyau et Image Noyau : Le noyau de l'application linéaire f ∈ L ( E , F ) est le sous - espace vectoriel de E défini par : ker(f)={x∈E ∣ f(x)=0} Théorème : f∈L(E,F) est injective si et seulement si ker(f)={0} .\nImage : L'image de l'application linéaire f∈L(E,F) est le sous - espace vectoriel de F défini par : Im(f)={f(x) ∣ x∈E} Proposition : Si ( 𝑥 𝑖 ) , 𝑖 ∈ 𝐼 est une famille génératrice de E , alors : Im(f)=vect(f( 𝑥 𝑖 ) ; i∈I) Théorème : Une application linéaire f:E→F est surjective si et seulement si son image Im(f) est égale à F .\nCela signifie que f est surjective si et seulement si Im(f)=F .\nExercice : Soit f:R 2 → R 3 l'application linéaire définie par f(x,y)=(x+y,x − y,x+y).\nDéterminer le noyau de f , son image.\nf est - elle injective? S urjective? Noyau : l’ensemble des éléments u dans R2 tel que f(u)=0 Donc l’ensemble des couples (u1,u2) réels tel que (u1+u2, u1 - u2, u1+u2) = (0, 0, 0) u1+u2=0 et u1 - u2=0 u1+u2+u1 - u2 = 0 donc 2 .\nu1=0 donc u1=0 Donc u2=0 Donc ker(f) = {( 0 ,0)} Donc f est injective R[X] (1,X,X 2 ,...) F(R[X], R[X]) c’est f((1,2,5,1,...)) - > (2,3,4,1,...) Problématique : Comment dé f inir précisément une fonction dans une base vectorielle quelconque ? Rappel : on n’a pas de base dans un espace vectoriel quelconque tant qu’on ne l’a pas défini.\n- > En général, on définit préalablement une base de E.\nLien avec les matrices : Soit u dans L(E,F), avec dim(E) = 2 et dim(F) = 3 ",
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    {
      "text": "Soit B1 = (e1, e2) une base de E et B2 = (f1, f2, f3) une base de F Alors on représenter le résultat de u (B1) dans la base B2.\nSupposons que u( e1 ) = - f1 + 2.f2 + f3 ( - 1, 2, 1) , et u(e2) = f1 + f 3 (1, 0, 1) (x y) .\n(( - 1 2 1), (1 0 1)) = ( - x + y, 2x, x + y) u(x,y) = ( - x + y, 2x, x + y) Soit E=R 3 [X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 3.\nOn définit u l'application de E dans lui - même par u(P)=P+(1 − X)P’.\n(1,X,X^2) U(c.1 + b.X + a.X^2) = c.1 + b.X + a.X^2 + (1 - X.(b + 2 aX)) U(1) = 1 U(X) = 1 U(X^2) = 2X - X^2 (c, b, a) [[0, 0, 1], [0, 0, 1],[ - 1,2,0]] Rappel sur les bases : Une base d’un espace vectoriel E est une famille libre et génératrice de E.\n",
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    "### Notions Importantes\n\n1. **Définition et Notations**\n   - Application Linéaire\n   - Notations : L(E,F), L(E)\n   - Exemples d'applications linéaires : K:R²→R³, G:R²→R², H:R²→R²\n\n2. **Exemples d'Applications Linéaires**\n   - Identité : id_E : E → E\n   - Homothétie\n   - Combinaison Linéaire\n   - Composée d'Applications Linéaires\n\n3. **Propriétés des Applications Linéaires**\n   - Endomorphisme\n   - Isomorphisme\n   - Automorphisme\n\n### Résumé\n\n1. **Définition et Notations**\n   - **Application Linéaire** : Une application \\( f : E \\rightarrow F \\) est dite linéaire si pour tous \\( x, y \\in E \\) et tous \\( \\lambda, \\mu \\in K \\), on a \\( f(\\lambda x + \\mu y) = \\lambda f(x) + \\mu f(y) \\).\n   - **Notations** :\n     - \\( L(E, F) \\) : Ensemble des applications linéaires de \\( E \\) dans \\( F \\).\n     - \\( L(E) \\) : Ensemble des applications linéaires de \\( E \\) dans \\( E \\) (endomorphismes).\n   - **Exemples d'applications linéaires** :\n     - \\( K : R² \\rightarrow R³, (x, y) \\rightarrow (3x, x + y, -y) \\)\n     - \\( G : R² \\rightarrow R², x \\rightarrow 2x \\)\n     - \\( H : R² \\rightarrow R², x \\rightarrow 3x \\)\n     - \\( H + G : R² \\rightarrow R², x \\rightarrow 2x + 3x \\)\n     - \\( H \\circ G : R² \\rightarrow R², x \\rightarrow H(G(x)) \\)\n\n2. **Exemples d'Applications Linéaires**\n   - **Identité** : \\( id_E : E \\rightarrow E, x \\rightarrow x \\)\n   - **Homothétie** : Pour \\( \\lambda \\in K \\), \\( x \\rightarrow \\lambda x \\)\n   - **Combinaison Linéaire** : Toute combinaison linéaire d'applications linéaires est linéaire.\n   - **Composée d'Applications Linéaires** : La composée de deux applications linéaires est linéaire.\n\n3. **Propriétés des Applications Linéaires**\n   - **Endomorphisme** : Une application linéaire d’un espace dans lui-même est un endomorphisme.\n   - **Isomorphisme** : Une application linéaire bijective.\n   - **Automorphisme** : Un endomorphisme qui est aussi un isomorphisme.",
    "### Notions Importantes\n\n1. **Noyau de l'application linéaire**\n   - Définition : ker(f) = {x ∈ E | f(x) = 0}\n   - Théorème : f ∈ L(E, F) est injective si et seulement si ker(f) = {0}\n\n2. **Image de l'application linéaire**\n   - Définition : Im(f) = {f(x) | x ∈ E}\n   - Proposition : Si (x_i) avec i ∈ I est une famille génératrice de E, alors : Im(f) = vect(f(x_i) ; i ∈ I)\n   - Théorème : Une application linéaire f : E → F est surjective si et seulement si son image Im(f) est égale à F\n\n3. **Exercice : Déterminer le noyau et l'image de f**\n   - Application linéaire f : R^2 → R^3 définie par f(x, y) = (x + y, x - y, x + y)\n   - Noyau : {u ∈ R^2 | f(u) = 0} => {(0, 0)}\n   - Image : {f(x) | x ∈ R^2}\n   - Injectivité : f est injective car ker(f) = {(0, 0)}\n   - Surjectivité : f est surjective si Im(f) = R^3\n\n4. **Problématique : Définir précisément une fonction dans une base vectorielle quelconque**\n   - Rappel : Définir une base dans un espace vectoriel quelconque nécessite de définir préalablement une base de E\n\n5. **Lien avec les matrices**\n   - Soit u ∈ L(E, F) avec dim(E) = 2 et dim(F) = 3\n\n### Résumé\n\n1. **Noyau de l'application linéaire**\n   - ker(f) = {x ∈ E | f(x) = 0}\n   - Théorème : f est injective si ker(f) = {0}\n\n2. **Image de l'application linéaire**\n   - Im(f) = {f(x) | x ∈ E}\n   - Proposition : Im(f) = vect(f(x_i) ; i ∈ I)\n   - Théorème : f est surjective si Im(f) = F\n\n3. **Exercice : Déterminer le noyau et l'image de f**\n   - f(x, y) = (x + y, x - y, x + y)\n   - Noyau : {(0, 0)}\n   - Image : {f(x) | x ∈ R^2}\n   - Injectivité : ker(f) = {(0, 0)}\n   - Surjectivité : Im(f) = R^3\n\n4. **Problématique : Définir précisément une fonction dans une base vectorielle quelconque**\n   - Nécessité de définir une base de E\n\n5. **Lien avec les matrices**\n   - u ∈ L(E, F) avec dim(E) = 2 et dim(F) = 3"
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    "title": "Applications Linéaires et leurs Propriétés",
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              "insert": "Applications Linéaires et leurs Propriétés: Définition et Notations des Applications Linéaires",
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              "insert": ". Une application linéaire de E dans F est une application f qui vérifie les deux propriétés suivantes:\n\n1"
            },
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              "insert": ". Pour tout couple "
            },
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            },
            {
              "insert": ") d'éléments de E, on a f"
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            },
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            },
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            },
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            },
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              "insert": ")"
            },
            {
              "insert": ".\n2"
            },
            {
              "insert": ". Pour tout élément x de E et tout scalaire λ de K, on a f"
            },
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              "insert": "(λx"
            },
            {
              "insert": ") = λf"
            },
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            },
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              "insert": ")"
            },
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              "insert": ".\n\nL'ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L"
            },
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              "insert": "(E, F"
            },
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              "insert": ") ou L"
            },
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            },
            {
              "insert": ") si F est sous"
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            {
              "insert": "-entendu"
            },
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              "insert": ".\n\nExemples:\n",
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            },
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            },
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              "insert": ")"
            },
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              "insert": ") = "
            },
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            },
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              "insert": ")"
            },
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              "insert": ") = x + 2y"
            },
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              "insert": "Qu'est"
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          ]
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              "insert": "Une application linéaire est une fonction entre deux espaces vectoriels qui respecte les propriétés de linéarité, c'est"
            },
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              "insert": "-à"
            },
            {
              "insert": "-dire qu'elle conserve les opérations d'addition et de multiplication scalaire"
            },
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              "insert": "."
            }
          ]
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              "insert": "-ce qu'un endomorphisme dans le contexte des applications linéaires ?"
            }
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              "insert": "-même"
            },
            {
              "insert": ". En d'autres termes, c'est une transformation linéaire qui prend des vecteurs d'un espace vectoriel et les envoie dans le même espace vectoriel"
            },
            {
              "insert": "."
            }
          ]
        }
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              "insert": "-ce qu'un isomorphisme dans le contexte des applications linéaires?"
            }
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              "insert": "Un isomorphisme est une application linéaire bijective entre deux espaces vectoriels, c'est"
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              "insert": "-à"
            },
            {
              "insert": "-dire une application linéaire qui est à la fois injective "
            },
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              "insert": "(distincte"
            },
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              "insert": ") et surjective "
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            },
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              "insert": ")"
            },
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            }
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              "insert": "Qu'est"
            },
            {
              "insert": "-ce qu'un automorphisme dans le contexte des applications linéaires?"
            }
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        },
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            {
              "insert": "Un automorphisme est une application linéaire d'un espace vectoriel dans lui"
            },
            {
              "insert": "-même qui est également bijective "
            },
            {
              "insert": "(injective et surjective"
            },
            {
              "insert": ")"
            },
            {
              "insert": "."
            }
          ]
        }
      }
    },
    {
      "type": "exercise",
      "data": {
        "visibleAnswer": {
          "ops": [
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              "insert": "1"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Qu'est",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": "-ce qu'une application linéaire et comment peut",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": "-on vérifier si une fonction en est une ?",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nUne application linéaire, également appelée fonction linéaire, est une fonction qui préserve les combinaisons linéaires"
            },
            {
              "insert": ". Autrement dit, si vous avez deux vecteurs u et v, et un scalaire k, alors f"
            },
            {
              "insert": "(k"
            },
            {
              "insert": "u + v) = k",
              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": "f"
            },
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            },
            {
              "insert": ") + f"
            },
            {
              "insert": "(v"
            },
            {
              "insert": "), où f est l'application linéaire"
            },
            {
              "insert": ".\n\nPour vérifier si une fonction est une application linéaire, vous pouvez utiliser les deux propriétés suivantes :\n\n",
              "attributes": {
                "list": "bullet"
              }
            },
            {
              "insert": "f"
            },
            {
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            },
            {
              "insert": ") = f"
            },
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            },
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              "insert": ") + f"
            },
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            },
            {
              "insert": ")"
            },
            {
              "insert": "\n"
            },
            {
              "insert": " f(k",
              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": "u"
            },
            {
              "insert": ") = k"
            },
            {
              "insert": "*f"
            },
            {
              "insert": "(u"
            },
            {
              "insert": ")\n\noù u et v sont des vecteurs et k est un scalaire"
            },
            {
              "insert": ".\n\n2"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Donnez un exemple d'application linéaire dans le contexte de l'ingénierie aéronautique",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": ".",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nUn exemple d'application linéaire dans l'ingénierie aéronautique est la transformation de coordonnées"
            },
            {
              "insert": ". Par exemple, si vous avez un vecteur vitesse dans un système de coordonnées et que vous voulez le convertir dans un autre système de coordonnées, vous pouvez utiliser une matrice de transformation pour effectuer cette conversion"
            },
            {
              "insert": ". Cette transformation est une application linéaire car elle préserve les combinaisons linéaires"
            },
            {
              "insert": ".\n\n3"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Comment peut",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": "-on calculer le produit scalaire de deux vecteurs dans l'espace tridimensionnel ?",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nLe produit scalaire de deux vecteurs u = "
            },
            {
              "insert": "(u1, u2, u3"
            },
            {
              "insert": ") et v = "
            },
            {
              "insert": "(v1, v2, v3"
            },
            {
              "insert": ") dans l'espace tridimensionnel est donné par la formule :\n\nu · v = u1"
            },
            {
              "insert": "v1 + u2",
              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": "v2 + u3"
            },
            {
              "insert": "*v3\n\n4"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Comment peut",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": "-on vérifier si la fonction qui prend en entrée deux vecteurs et renvoie leur produit scalaire est une application linéaire ?",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nPour vérifier si la fonction qui prend en entrée deux vecteurs et renvoie leur produit scalaire est une application linéaire, vous pouvez utiliser les propriétés mentionnées précédemment"
            },
            {
              "insert": ".\n\nTout d'abord, vérifiez si la fonction respecte la première propriété :\n\nf"
            },
            {
              "insert": "(u + v"
            },
            {
              "insert": ") = f"
            },
            {
              "insert": "(u"
            },
            {
              "insert": ") + f"
            },
            {
              "insert": "(v"
            },
            {
              "insert": ")\n\nSoit u = "
            },
            {
              "insert": "(u1, u2, u3"
            },
            {
              "insert": ") et v = "
            },
            {
              "insert": "(v1, v2, v3"
            },
            {
              "insert": ") deux vecteurs dans l'espace tridimensionnel"
            },
            {
              "insert": ". Calculons f"
            },
            {
              "insert": "(u + v"
            },
            {
              "insert": ") et f"
            },
            {
              "insert": "(u"
            },
            {
              "insert": ") + f"
            },
            {
              "insert": "(v"
            },
            {
              "insert": ") :\n\nf"
            },
            {
              "insert": "(u + v"
            },
            {
              "insert": ") = "
            },
            {
              "insert": "(u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3"
            },
            {
              "insert": ") · "
            },
            {
              "insert": "(u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3"
            },
            {
              "insert": ")\n= "
            },
            {
              "insert": "(u1 + v1"
            },
            {
              "insert": ")^2 + "
            },
            {
              "insert": "(u2 + v2"
            },
            {
              "insert": ")^2 + "
            },
            {
              "insert": "(u3 + v3"
            },
            {
              "insert": ")^2\n= u1^2 + v1^2 + 2"
            },
            {
              "insert": "u1",
              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": "v1 + u2^2 + v2^2 + 2"
            },
            {
              "insert": "u2",
              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": "v2 + u3^2 + v3^2 + 2"
            },
            {
              "insert": "u3",
              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": "v3\n\nf"
            },
            {
              "insert": "(u"
            },
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              "insert": ") + f"
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            },
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            },
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            },
            {
              "insert": ") · "
            },
            {
              "insert": "(u1, u2, u3"
            },
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              "insert": ") + "
            },
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              "insert": "(v1, v2, v3"
            },
            {
              "insert": ") · "
            },
            {
              "insert": "(v1, v2, v3"
            },
            {
              "insert": ")\n= u1^2 + u2^2 + u3^2 + v1^2 + v2^2 + v3^2\n\nOn peut voir que f"
            },
            {
              "insert": "(u + v"
            },
            {
              "insert": ") ≠ f"
            },
            {
              "insert": "(u"
            },
            {
              "insert": ") + f"
            },
            {
              "insert": "(v"
            },
            {
              "insert": "), donc la fonction ne respecte pas la première propriété"
            },
            {
              "insert": ".\n\nEnsuite, vérifiez si la fonction respecte la deuxième propriété :\n\nf"
            },
            {
              "insert": "(k"
            },
            {
              "insert": "u) = k",
              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": "f"
            },
            {
              "insert": "(u"
            },
            {
              "insert": ")\n\nSoit k un scalaire et u = "
            },
            {
              "insert": "(u1, u2, u3"
            },
            {
              "insert": ") un vecteur dans l'espace tridimensionnel"
            },
            {
              "insert": ". Calculons f"
            },
            {
              "insert": "(k"
            },
            {
              "insert": "u) et k",
              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
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            {
              "insert": "u) = (k",
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              }
            },
            {
              "insert": "u1, k"
            },
            {
              "insert": "u2, k",
              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": "u3"
            },
            {
              "insert": ") · "
            },
            {
              "insert": "(k"
            },
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              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": "u2, k"
            },
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              "insert": "*u3"
            },
            {
              "insert": ")\n= k^2"
            },
            {
              "insert": "*"
            },
            {
              "insert": "(u1^2 + u2^2 + u3^2"
            },
            {
              "insert": ")\n\nk"
            },
            {
              "insert": "f(u) = k",
              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": "("
            },
            {
              "insert": "(u1, u2, u3"
            },
            {
              "insert": ") · "
            },
            {
              "insert": "(u1, u2, u3"
            },
            {
              "insert": ")"
            },
            {
              "insert": ")\n= k"
            },
            {
              "insert": "*"
            },
            {
              "insert": "(u1^2 + u2^2 + u3^2"
            },
            {
              "insert": ")\n\nOn peut voir que f"
            },
            {
              "insert": "(k"
            },
            {
              "insert": "u) = k",
              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": "f"
            },
            {
              "insert": "(u"
            },
            {
              "insert": "), donc la fonction respecte la deuxième propriété"
            },
            {
              "insert": ".\n\nConclusion : La fonction qui prend en entrée deux vecteurs et renvoie leur produit scalaire n'est pas une application linéaire car elle ne respecte pas la première propriété"
            },
            {
              "insert": "."
            }
          ]
        },
        "instructions": {
          "ops": [
            {
              "insert": "Mise en situation : Vous êtes un ingénieur en aéronautique et vous devez vérifier si une fonction qui prend en entrée deux vecteurs et renvoie leur produit scalaire est une application linéaire"
            },
            {
              "insert": ".\n\nQuestions :\n\n1"
            },
            {
              "insert": ". Qu'est"
            },
            {
              "insert": "-ce qu'une application linéaire et comment peut"
            },
            {
              "insert": "-on vérifier si une fonction en est une ?\n2"
            },
            {
              "insert": ". Donnez un exemple d'application linéaire dans le contexte de l'ingénierie aéronautique"
            },
            {
              "insert": ".\n3"
            },
            {
              "insert": ". Comment peut"
            },
            {
              "insert": "-on calculer le produit scalaire de deux vecteurs dans l'espace tridimensionnel ?\n4"
            },
            {
              "insert": ". Comment peut"
            },
            {
              "insert": "-on vérifier si la fonction qui prend en entrée deux vecteurs et renvoie leur produit scalaire est une application linéaire ?"
            }
          ]
        }
      }
    },
    {
      "type": "text",
      "data": {
        "title": "Exemples d'Applications Linéaires",
        "content": {
          "ops": [
            {
              "insert": "Exemples d'Applications Linéaires",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 1
              }
            }
          ]
        }
      }
    },
    {
      "type": "text",
      "data": {
        "content": {
          "ops": [
            {
              "insert": "Applications Linéaires et leurs Propriétés: Exemples d'Applications Linéaires",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nLes applications linéaires sont des fonctions qui préservent les propriétés algébriques des espaces vectoriels"
            },
            {
              "insert": ". Voici quelques exemples de ces applications :\n\n"
            },
            {
              "insert": " ",
              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": "Identité",
              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": "* : L'application identité est une application linéaire qui à tout vecteur "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "v"
              }
            },
            {
              "insert": " associe lui"
            },
            {
              "insert": "-même, soit "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "Id(v) = v"
              }
            },
            {
              "insert": ".\n"
            },
            {
              "insert": " ",
              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": "Homothétie",
              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": "* : Une homothétie est une application linéaire qui multiplie chaque vecteur par un scalaire "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "k"
              }
            },
            {
              "insert": ", soit "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "H_k(v) = kv"
              }
            },
            {
              "insert": ".\n"
            },
            {
              "insert": " ",
              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": "Combinaison linéaire composée d'applications linéaires",
              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": "* : Si "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\phi"
              }
            },
            {
              "insert": " et "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\psi"
              }
            },
            {
              "insert": " sont deux applications linéaires, alors leur combinaison linéaire "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\lambda\\phi + \\mu\\psi"
              }
            },
            {
              "insert": " est également une application linéaire, définie par "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "(\\lambda\\phi + \\mu\\psi)(v) = \\lambda\\phi(v) + \\mu\\psi(v)"
              }
            },
            {
              "insert": ", où "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\lambda"
              }
            },
            {
              "insert": " et "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\mu"
              }
            },
            {
              "insert": " sont des scalaires"
            },
            {
              "insert": ".\n\nCes exemples montrent que les applications linéaires peuvent prendre différentes formes, mais elles partagent toutes la propriété de préserver les opérations vectorielles"
            },
            {
              "insert": "."
            }
          ]
        }
      }
    },
    {
      "type": "exercise",
      "data": {
        "visibleAnswer": {
          "ops": [
            {
              "insert": "Réponses"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 2
              }
            },
            {
              "insert": "\n\n"
            },
            {
              "insert": "1"
            },
            {
              "insert": ". Vérification de l'identité"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 3
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nL'identité donnée est linéaire car elle peut être décomposée en une somme de termes linéaires"
            },
            {
              "insert": ". Pour vérifier cela, nous allons suivre les étapes suivantes :\n\na"
            },
            {
              "insert": ". Écrire l'identité sous sa forme développée :\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nb"
            },
            {
              "insert": ". Vérifier si chaque terme est linéaire"
            },
            {
              "insert": ". Un terme est linéaire s'il contient une seule variable élevée à une puissance non nulle"
            },
            {
              "insert": ". Dans cette identité, chaque terme "
            },
            {
              "insert": "("
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "a^2"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": ", "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "2ab"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": ", et "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "b^2"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": ") est linéaire car ils contiennent une seule variable élevée à une puissance non nulle"
            },
            {
              "insert": ".\n\nc"
            },
            {
              "insert": ". Conclure que l'identité est linéaire car elle peut être décomposée en une somme de termes linéaires"
            },
            {
              "insert": ".\n\n"
            },
            {
              "insert": "2"
            },
            {
              "insert": ". Autre exemple"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 3
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nUn autre exemple d'identité linéaire est :\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "(a - b) + (a + b) = 2a"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\nCette identité est linéaire car elle peut être décomposée en une somme de termes linéaires"
            },
            {
              "insert": ". Chaque terme "
            },
            {
              "insert": "("
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "a - b"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": " et "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "a + b"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": ") est linéaire, et la somme de ces termes donne un autre terme linéaire "
            },
            {
              "insert": "("
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "2a"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": ")"
            },
            {
              "insert": ".\n\n"
            },
            {
              "insert": "3"
            },
            {
              "insert": ". Application pratique"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 3
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nDans un algorithme de cryptographie, cette identité linéaire pourrait être utilisée pour simplifier des calculs ou pour vérifier des opérations"
            },
            {
              "insert": ". Par exemple, si vous avez besoin de calculer "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "(a + b)^2"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": " dans un algorithme de cryptage, vous pouvez utiliser cette identité pour simplifier le calcul en calculant "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "a^2"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": ", "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "2ab"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": ", et "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "b^2"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": " séparément et en lesAdding ensemble"
            },
            {
              "insert": ". Cela peut rendre l'algorithme plus efficace en termes de temps de calcul"
            },
            {
              "insert": ".\n\nEn outre, cette identité pourrait être utilisée pour vérifier des opérations dans un algorithme de cryptographie"
            },
            {
              "insert": ". Par exemple, si vous recevez un message crypté qui est censé être le résultat de l'opération "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "(a + b)^2"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": ", vous pouvez utiliser cette identité pour vérifier si le message est valide en calculant "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "a^2"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": ", "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "2ab"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": ", et "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "b^2"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": " et en vérifiant si leur somme correspond au message crypté"
            },
            {
              "insert": ". Si c'est le cas, vous pouvez être sûr que le message a été crypté correctement"
            },
            {
              "insert": "."
            }
          ]
        },
        "instructions": {
          "ops": [
            {
              "insert": "Mise en situation"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 2
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nVous êtes un·e mathématicien·ne qui travaille sur des problèmes de cryptographie"
            },
            {
              "insert": ". Vous avez découvert une identité intéressante dans le cadre de vos recherches, mais vous voulez vous assurer qu'elle est linéaire avant de l'utiliser dans vos algorithmes de cryptage"
            },
            {
              "insert": ".\n\n"
            },
            {
              "insert": "Questions"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 2
              }
            },
            {
              "insert": "\n\n1"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Vérification de l'identité",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : Vérifiez si l'identité suivante est linéaire : "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n2"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Autre exemple",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : Donnez un autre exemple d'identité qui est linéaire et expliquez pourquoi elle est linéaire"
            },
            {
              "insert": ".\n3"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Application pratique",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : Expliquez comment vous pourriez utiliser cette identité linéaire dans un algorithme de cryptographie"
            },
            {
              "insert": "."
            }
          ]
        }
      }
    },
    {
      "type": "exercise",
      "data": {
        "visibleAnswer": {
          "ops": [
            {
              "insert": "Réponses"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 2
              }
            },
            {
              "insert": "\n\n"
            },
            {
              "insert": "1"
            },
            {
              "insert": ". Définition"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 3
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nUne homothétie est une transformation géométrique qui consiste à multiplier toutes les distances d'un objet à un point donné "
            },
            {
              "insert": "(le centre de l'homothétie"
            },
            {
              "insert": ") par un même facteur, appelé rapport d'homothétie"
            },
            {
              "insert": ". Cela signifie que toutes les longueurs, les angles et les distances sont multipliés par le même facteur, ce qui conserve les proportions de l'objet original"
            },
            {
              "insert": ".\n\nUn exemple simple d'homothétie dans la vie quotidienne est la réduction ou l'agrandissement d'une image en conservant ses proportions"
            },
            {
              "insert": ". Par exemple, si vous voulez imprimer une photo sur une feuille de papier plus petite que la taille d'origine de la photo, vous pouvez utiliser un logiciel de traitement d'image pour réduire la taille de la photo tout en conservant ses proportions"
            },
            {
              "insert": ". Cela est possible grâce à une homothétie, qui multiplie toutes les distances de la photo par un facteur de réduction approprié"
            },
            {
              "insert": ".\n\n"
            },
            {
              "insert": "2"
            },
            {
              "insert": ". Caractéristiques"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 3
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nLes caractéristiques d'une homothétie sont les suivantes :\n\n",
              "attributes": {
                "list": "bullet"
              }
            },
            {
              "insert": "Toutes les distances d'un objet à un point donné "
            },
            {
              "insert": "(le centre de l'homothétie"
            },
            {
              "insert": ") sont multipliées par un même facteur, appelé rapport d'homothétie"
            },
            {
              "insert": "."
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "list": "bullet"
              }
            },
            {
              "insert": "Les angles et les proportions de l'objet original sont conservés"
            },
            {
              "insert": "."
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "list": "bullet"
              }
            },
            {
              "insert": "Les homothéties peuvent être utilisées pour agrandir ou réduire un objet de manière uniforme"
            },
            {
              "insert": "."
            },
            {
              "insert": "\n\nPour vérifier si une transformation est une homothétie, vous pouvez vérifier si toutes les distances d'un objet à un point donné sont multipliées par un même facteur"
            },
            {
              "insert": ". Si c'est le cas, alors la transformation est une homothétie"
            },
            {
              "insert": ".\n\n"
            },
            {
              "insert": "3"
            },
            {
              "insert": ". Exemple"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 3
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nUn exemple d'homothétie dans le domaine de l'architecture est la conception de différents plans de construction pour un bâtiment à différentes échelles"
            },
            {
              "insert": ". Par exemple, un architecte peut concevoir un plan de construction à une échelle de 1:100 pour une maquette, puis utiliser une homothétie pour agrandir ce plan à une échelle de 1:50 pour une présentation à un client"
            },
            {
              "insert": ". Cela permet à l'architecte de représenter différentes échelles de son bâtiment de manière précise et cohérente"
            },
            {
              "insert": ".\n\n"
            },
            {
              "insert": "4"
            },
            {
              "insert": ". Application"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 3
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nLes homothéties peuvent être utilisées pour simplifier le processus de conception de votre bâtiment de plusieurs manières"
            },
            {
              "insert": ". Tout d'abord, elles permettent de représenter différentes échelles de votre bâtiment de manière précise et cohérente, ce qui facilite la communication avec les clients et les partenaires de construction"
            },
            {
              "insert": ". Deuxièmement, les homothéties peuvent être utilisées pour créer des maquettes à différentes échelles, ce qui permet de visualiser le bâtiment dans son ensemble et de repérer les problèmes potentiels"
            },
            {
              "insert": ". Troisièmement, les homothéties peuvent être utilisées pour créer des plans de construction à différentes échelles, ce qui facilite la fabrication de composants de construction à différentes tailles"
            },
            {
              "insert": ".\n\nEn utilisant des homothéties pour simplifier le processus de conception de votre bâtiment, vous pouvez apporter plusieurs avantages à l'entreprise"
            },
            {
              "insert": ". Tout d'abord, cela peut réduire les coûts de construction en permettant de fabriquer des composants de construction à différentes tailles de manière plus efficace"
            },
            {
              "insert": ". Deuxièmement, cela peut améliorer la qualité de la construction en permettant de repérer les problèmes potentiels plus tôt dans le processus de conception"
            },
            {
              "insert": ". Troisièmement, cela peut améliorer la communication avec les clients et les partenaires de construction en permettant de représenter le bâtiment de manière précise et cohérente à différentes échelles"
            },
            {
              "insert": "."
            }
          ]
        },
        "instructions": {
          "ops": [
            {
              "insert": "Mise en situation"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 2
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nVous êtes un architecte chargé de concevoir un bâtiment pour une entreprise"
            },
            {
              "insert": ". Vous devez utiliser des homothéties pour représenter différentes échelles de votre bâtiment"
            },
            {
              "insert": ".\n\n"
            },
            {
              "insert": "Questions"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 2
              }
            },
            {
              "insert": "\n\n1"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Définition",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : Qu'est"
            },
            {
              "insert": "-ce qu'une homothétie ? Pouvez"
            },
            {
              "insert": "-vous donner un exemple simple d'homothétie dans la vie quotidienne ?\n2"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Caractéristiques",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : Quelles sont les caractéristiques d'une homothétie ? Comment pouvez"
            },
            {
              "insert": "-vous vérifier si une transformation est une homothétie ?\n3"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Exemple",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : Donnez un exemple d'homothétie dans le domaine de l'architecture"
            },
            {
              "insert": ". Comment pourriez"
            },
            {
              "insert": "-vous utiliser cette homothétie pour représenter différentes échelles de votre bâtiment ?\n4"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Application",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : Comment pourriez"
            },
            {
              "insert": "-vous utiliser des homothéties pour simplifier le processus de conception de votre bâtiment ? Quels avantages cela pourrait"
            },
            {
              "insert": "-il apporter à l'entreprise ?"
            }
          ]
        }
      }
    },
    {
      "type": "exercise",
      "data": {
        "visibleAnswer": {
          "ops": [
            {
              "insert": "1"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Compréhension de l'exercice",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : L'exercice demande de déterminer si la relation entre la vitesse d'un avion, sa masse et sa poussée est linéaire"
            },
            {
              "insert": ". Il s'agit de vérifier si une combinaison linéaire de ces variables est une application linéaire"
            },
            {
              "insert": ".\n\n2"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Plan de la solution",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " :\n   "
            },
            {
              "insert": "- Définir ce qu'est une application linéaire et comment la reconnaître"
            },
            {
              "insert": ".\n   "
            },
            {
              "insert": "- Donner un exemple de combinaison linéaire dans le domaine de l'aéronautique"
            },
            {
              "insert": ".\n   "
            },
            {
              "insert": "- Expliquer comment vérifier si une combinaison linéaire est linéaire"
            },
            {
              "insert": ".\n\n3"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Rédaction de la solution",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " :\n\n"
            },
            {
              "insert": "1"
            },
            {
              "insert": ". Qu'est"
            },
            {
              "insert": "-ce qu'une application linéaire et comment peut"
            },
            {
              "insert": "-on la reconnaître ?"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 3
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nUne application linéaire, également appelée fonction linéaire, est une fonction qui préserve les combinaisons linéaires"
            },
            {
              "insert": ". Autrement dit, si f est une application linéaire et si "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "a"
              }
            },
            {
              "insert": " et "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "b"
              }
            },
            {
              "insert": " sont des scalaires "
            },
            {
              "insert": "(des nombres"
            },
            {
              "insert": "), et "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "u"
              }
            },
            {
              "insert": " et "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "v"
              }
            },
            {
              "insert": " des éléments d'un espace vectoriel, alors :\n\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f(au + bv) = af(u) + bf(v)"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nEn d'autres termes, une application linéaire doit respecter les deux propriétés suivantes :\n\n",
              "attributes": {
                "list": "bullet"
              }
            },
            {
              "insert": "Additivité : "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f(u + v) = f(u) + f(v)"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "list": "bullet"
              }
            },
            {
              "insert": "Homothétie : "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f(au) = af(u)"
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nPour reconnaître une application linéaire, il faut donc vérifier si elle satisfait ces deux propriétés"
            },
            {
              "insert": ".\n\n"
            },
            {
              "insert": "2"
            },
            {
              "insert": ". Donnez un exemple de combinaison linéaire dans le domaine de l'aéronautique"
            },
            {
              "insert": "."
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 3
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nDans le domaine de l'aéronautique, un exemple de combinaison linéaire pourrait être le calcul de la portance d'une aile d'avion"
            },
            {
              "insert": ". La portance est donnée par la formule :\n\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "P = \\frac{1}{2} \\rho v^2 S C_L"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n\noù :\n",
              "attributes": {
                "list": "bullet"
              }
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "P"
              }
            },
            {
              "insert": " est la portance,"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "list": "bullet"
              }
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\rho"
              }
            },
            {
              "insert": " est la densité de l'air,"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "list": "bullet"
              }
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "v"
              }
            },
            {
              "insert": " est la vitesse de l'avion,"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "list": "bullet"
              }
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "S"
              }
            },
            {
              "insert": " est la surface de l'aile,"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "list": "bullet"
              }
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "C_L"
              }
            },
            {
              "insert": " est le coefficient de portance"
            },
            {
              "insert": "."
            },
            {
              "insert": "\n\nCette formule est une combinaison linéaire, car elle est obtenue en multipliant et en additionnant des variables "
            },
            {
              "insert": "("
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\rho"
              }
            },
            {
              "insert": ", "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "v^2"
              }
            },
            {
              "insert": ", "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "S"
              }
            },
            {
              "insert": " et "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "C_L"
              }
            },
            {
              "insert": ") avec des coefficients "
            },
            {
              "insert": "("
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\frac{1}{2}"
              }
            },
            {
              "insert": ")"
            },
            {
              "insert": ".\n\n"
            },
            {
              "insert": "3"
            },
            {
              "insert": ". Comment vérifier si une combinaison linéaire est linéaire ?"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 3
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nPour vérifier si une combinaison linéaire est une application linéaire, il faut vérifier si elle satisfait les propriétés d'additivité et d'homothétie mentionnées précédemment"
            },
            {
              "insert": ".\n\nPar exemple, pour vérifier si la formule de la portance donnée précédemment est une application linéaire, il faut vérifier si elle est additive et homothétique"
            },
            {
              "insert": ". Pour l'additivité, on peut prendre deux vitesses différentes "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "v_1"
              }
            },
            {
              "insert": " et "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "v_2"
              }
            },
            {
              "insert": ", et vérifier si :\n\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\frac{1}{2} \\rho (v_1 + v_2)^2 S C_L = \\frac{1}{2} \\rho v_1^2 S C_L + \\frac{1}{2} \\rho v_2^2 S C_L"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nPour l'homothétie, on peut prendre un facteur scalaire "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "a"
              }
            },
            {
              "insert": " et vérifier si :\n\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\frac{1}{2} \\rho (av)^2 S C_L = a \\left( \\frac{1}{2} \\rho v^2 S C_L \\right)"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nSi ces deux équations sont vérifiées, alors la formule de la portance est une application linéaire"
            },
            {
              "insert": ".\n\n4"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Explications pédagogiques",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " :\n   "
            },
            {
              "insert": "- Une application linéaire est une fonction qui préserve les combinaisons linéaires"
            },
            {
              "insert": ". Elle doit respecter les propriétés d'additivité et d'homothétie"
            },
            {
              "insert": ".\n   "
            },
            {
              "insert": "- Un exemple de combinaison linéaire dans le domaine de l'aéronautique est le calcul de la portance d'une aile d'avion"
            },
            {
              "insert": ".\n   "
            },
            {
              "insert": "- Pour vérifier si une combinaison linéaire est une application linéaire, il faut vérifier si elle est additive et homothétique"
            },
            {
              "insert": ".\n\n5"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Renvoyez une réponse en markdown",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " :\n\n"
            },
            {
              "insert": "1"
            },
            {
              "insert": ". Qu'est"
            },
            {
              "insert": "-ce qu'une application linéaire et comment peut"
            },
            {
              "insert": "-on la reconnaître ?"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 2
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nUne application linéaire, également appelée fonction linéaire, est une fonction qui préserve les combinaisons linéaires"
            },
            {
              "insert": ". Autrement dit, si "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f"
              }
            },
            {
              "insert": " est une application linéaire et si "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "a"
              }
            },
            {
              "insert": " et "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "b"
              }
            },
            {
              "insert": " sont des scalaires "
            },
            {
              "insert": "(des nombres"
            },
            {
              "insert": "), et "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "u"
              }
            },
            {
              "insert": " et "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "v"
              }
            },
            {
              "insert": " des éléments d'un espace vectoriel, alors :\n\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f(au + bv) = af(u) + bf(v)"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nEn d'autres termes, une application linéaire doit respecter les deux propriétés suivantes :\n\n",
              "attributes": {
                "list": "bullet"
              }
            },
            {
              "insert": "Additivité : "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f(u + v) = f(u) + f(v)"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "list": "bullet"
              }
            },
            {
              "insert": "Homothétie : "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f(au) = af(u)"
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nPour reconnaître une application linéaire, il faut donc vérifier si elle satisfait ces deux propriétés"
            },
            {
              "insert": ".\n\n"
            },
            {
              "insert": "2"
            },
            {
              "insert": ". Donnez un exemple de combinaison linéaire dans le domaine de l'aéronautique"
            },
            {
              "insert": "."
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 2
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nDans le domaine de l'aéronautique, un exemple de combinaison linéaire pourrait être le calcul de la portance d'une aile d'avion"
            },
            {
              "insert": ". La portance est donnée par la formule :\n\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "P = \\frac{1}{2} \\rho v^2 S C_L"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n\noù :\n",
              "attributes": {
                "list": "bullet"
              }
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "P"
              }
            },
            {
              "insert": " est la portance,"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "list": "bullet"
              }
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\rho"
              }
            },
            {
              "insert": " est la densité de l'air,"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "list": "bullet"
              }
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "v"
              }
            },
            {
              "insert": " est la vitesse de l'avion,"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "list": "bullet"
              }
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "S"
              }
            },
            {
              "insert": " est la surface de l'aile,"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "list": "bullet"
              }
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "C_L"
              }
            },
            {
              "insert": " est le coefficient de portance"
            },
            {
              "insert": "."
            },
            {
              "insert": "\n\nCette formule est une combinaison linéaire, car elle est obtenue en multipliant et en additionnant des variables "
            },
            {
              "insert": "("
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\rho"
              }
            },
            {
              "insert": ", "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "v^2"
              }
            },
            {
              "insert": ", "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "S"
              }
            },
            {
              "insert": " et "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "C_L"
              }
            },
            {
              "insert": ") avec des coefficients "
            },
            {
              "insert": "("
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\frac{1}{2}"
              }
            },
            {
              "insert": ")"
            },
            {
              "insert": ".\n\n"
            },
            {
              "insert": "3"
            },
            {
              "insert": ". Comment vérifier si une combinaison linéaire est linéaire ?"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 2
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nPour vérifier si une combinaison linéaire est une application linéaire, il faut vérifier si elle satisfait les propriétés d'additivité et d'homothétie mentionnées précédemment"
            },
            {
              "insert": ".\n\nPar exemple, pour vérifier si la formule de la portance donnée précédemment est une application linéaire, il faut vérifier si elle est additive et homothétique"
            },
            {
              "insert": ". Pour l'additivité, on peut prendre deux vitesses différentes "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "v_1"
              }
            },
            {
              "insert": " et "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "v_2"
              }
            },
            {
              "insert": ", et vérifier si :\n\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\frac{1}{2} \\rho (v_1 + v_2)^2 S C_L = \\frac{1}{2} \\rho v_1^2 S C_L + \\frac{1}{2} \\rho v_2^2 S C_L"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nPour l'homothétie, on peut prendre un facteur scalaire "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "a"
              }
            },
            {
              "insert": " et vérifier si :\n\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\frac{1}{2} \\rho (av)^2 S C_L = a \\left( \\frac{1}{2} \\rho v^2 S C_L \\right)"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nSi ces deux équations sont vérifiées, alors la formule de la portance est une application linéaire"
            },
            {
              "insert": "."
            }
          ]
        },
        "instructions": {
          "ops": [
            {
              "insert": "Mise en situation : Vous êtes un ingénieur en aéronautique et vous devez calculer la vitesse d'un avion en fonction de sa masse et de sa poussée"
            },
            {
              "insert": ". Vous avez besoin de déterminer si la relation entre ces variables est linéaire"
            },
            {
              "insert": ".\n\nQuestions :\n\n1"
            },
            {
              "insert": ". Qu'est"
            },
            {
              "insert": "-ce qu'une application linéaire et comment peut"
            },
            {
              "insert": "-on la reconnaître ?\n2"
            },
            {
              "insert": ". Donnez un exemple de combinaison linéaire dans le domaine de l'aéronautique"
            },
            {
              "insert": ".\n3"
            },
            {
              "insert": ". Comment vérifier si une combinaison linéaire est linéaire ?"
            }
          ]
        }
      }
    },
    {
      "type": "exercise",
      "data": {
        "visibleAnswer": {
          "ops": [
            {
              "insert": "Solution"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 1
              }
            },
            {
              "insert": "\n\n"
            },
            {
              "insert": "1"
            },
            {
              "insert": ". Entrées et sorties des applications linéaires"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 2
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nLa première application linéaire prend en entrée la poussée des moteurs et donne en sortie la vitesse de l'avion"
            },
            {
              "insert": ". Ainsi, l'entrée de cette application est un nombre réel correspondant à la poussée des moteurs, et la sortie est un nombre réel correspondant à la vitesse de l'avion"
            },
            {
              "insert": ".\n\nLa deuxième application linéaire prend en entrée la vitesse de l'avion et donne en sortie la résistance de l'air"
            },
            {
              "insert": ". Ainsi, l'entrée de cette application est un nombre réel correspondant à la vitesse de l'avion, et la sortie est un nombre réel correspondant à la résistance de l'air"
            },
            {
              "insert": ".\n\n"
            },
            {
              "insert": "2"
            },
            {
              "insert": ". Composition des applications linéaires"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 2
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nPour obtenir une application linéaire qui prend en entrée la poussée des moteurs et donne en sortie la résistance de l'air, nous pouvons composer les deux applications linéaires"
            },
            {
              "insert": ". Plus précisément, nous pouvons appliquer la première application linéaire à l'entrée "
            },
            {
              "insert": "(la poussée des moteurs"
            },
            {
              "insert": "), puis appliquer la deuxième application linéaire au résultat obtenu "
            },
            {
              "insert": "(la vitesse de l'avion"
            },
            {
              "insert": ")"
            },
            {
              "insert": ".\n\nAinsi, l'application linéaire composée prend en entrée un nombre réel correspondant à la poussée des moteurs, applique la première application linéaire pour obtenir la vitesse de l'avion, puis applique la deuxième application linéaire pour obtenir la résistance de l'air"
            },
            {
              "insert": ". La sortie de cette application est donc un nombre réel correspondant à la résistance de l'air"
            },
            {
              "insert": ".\n\n"
            },
            {
              "insert": "3"
            },
            {
              "insert": ". Vérification de la linéarité de l'application composée"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 2
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nPour vérifier si l'application linéaire composée est bien linéaire, nous pouvons utiliser les propriétés des applications linéaires"
            },
            {
              "insert": ".\n\nSoient "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f"
              }
            },
            {
              "insert": " et "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "g"
              }
            },
            {
              "insert": " deux applications linéaires, et "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "k"
              }
            },
            {
              "insert": " un nombre réel"
            },
            {
              "insert": ". Nous avons :\n\n",
              "attributes": {
                "list": "bullet"
              }
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "(f \\circ g)(k \\cdot x) = f(g(k \\cdot x)) = f(k \\cdot g(x)) = k \\cdot f(g(x)) = k \\cdot (f \\circ g)(x)"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "list": "bullet"
              }
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "(f \\circ g)(x + y) = f(g(x + y)) = f(g(x) + g(y)) = f(g(x)) + f(g(y)) = (f \\circ g)(x) + (f \\circ g)(y)"
              }
            },
            {
              "insert": "\n\noù "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "x"
              }
            },
            {
              "insert": " et "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "y"
              }
            },
            {
              "insert": " sont deux nombres réels"
            },
            {
              "insert": ".\n\nCes propriétés montrent que l'application composée "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f \\circ g"
              }
            },
            {
              "insert": " est bien linéaire, car elle vérifie les deux axiomes de linéarité : l'homogénéité et l'additivité"
            },
            {
              "insert": ".\n\nEn appliquant ces propriétés à notre cas particulier, nous pouvons conclure que l'application linéaire composée qui prend en entrée la poussée des moteurs et donne en sortie la résistance de l'air est bien linéaire"
            },
            {
              "insert": ".\n\n"
            },
            {
              "insert": "Explications pédagogiques"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 1
              }
            },
            {
              "insert": "\n\n"
            },
            {
              "insert": "1"
            },
            {
              "insert": ". Entrées et sorties des applications linéaires"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 2
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nUne application linéaire est une fonction qui prend en entrée un ou plusieurs nombres réels et donne en sortie un nombre réel"
            },
            {
              "insert": ". Dans notre cas, nous avons deux applications linéaires : la première prend en entrée la poussée des moteurs et donne en sortie la vitesse de l'avion, et la deuxième prend en entrée la vitesse de l'avion et donne en sortie la résistance de l'air"
            },
            {
              "insert": ". Il est donc important de bien identifier les entrées et les sorties de ces applications pour pouvoir les utiliser correctement"
            },
            {
              "insert": ".\n\n"
            },
            {
              "insert": "2"
            },
            {
              "insert": ". Composition des applications linéaires"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 2
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nLa composition d'applications linéaires consiste à appliquer une application linéaire à la sortie d'une autre application linéaire"
            },
            {
              "insert": ". Dans notre cas, nous avons composé la première application linéaire "
            },
            {
              "insert": "(qui prend en entrée la poussée des moteurs"
            },
            {
              "insert": ") avec la deuxième application linéaire "
            },
            {
              "insert": "(qui prend en entrée la vitesse de l'avion"
            },
            {
              "insert": ") pour obtenir une application linéaire qui prend en entrée la poussée des moteurs et donne en sortie la résistance de l'air"
            },
            {
              "insert": ". La composition d'applications linéaires est une opération courante en mathématiques et en informatique, et elle permet de construire de nouvelles fonctions à partir de fonctions existantes"
            },
            {
              "insert": ".\n\n"
            },
            {
              "insert": "3"
            },
            {
              "insert": ". Vérification de la linéarité de l'application composée"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 2
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nPour vérifier si une application est linéaire, nous pouvons utiliser les propriétés des applications linéaires"
            },
            {
              "insert": ". Dans notre cas, nous avons utilisé les propriétés d'homogénéité et d'additivité pour montrer que l'application composée est bien linéaire"
            },
            {
              "insert": ". Ces propriétés sont fondamentales en algèbre linéaire et sont utilisées pour démontrer de nombreux résultats sur les applications linéaires"
            },
            {
              "insert": ".\n\n"
            },
            {
              "insert": "Conclusion"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 1
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nDans cet exercice, nous avons appris à identifier les entrées et les sorties des applications linéaires, à composer des applications linéaires pour en obtenir de nouvelles, et à vérifier la linéarité d'une application composée en utilisant les propriétés des applications linéaires"
            },
            {
              "insert": ". Ces concepts sont fondamentaux en algèbre linéaire et sont utilisés dans de nombreux domaines scientifiques et techniques, notamment en aéronautique"
            },
            {
              "insert": "."
            }
          ]
        },
        "instructions": {
          "ops": [
            {
              "insert": "Mise en situation"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 1
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nVous êtes un ingénieur en aéronautique chargé de calculer la vitesse d'un avion en fonction de la poussée des moteurs et de la résistance de l'air"
            },
            {
              "insert": ". Vous disposez de deux applications linéaires : la première prend en entrée la poussée des moteurs et donne en sortie la vitesse de l'avion, et la deuxième prend en entrée la vitesse de l'avion et donne en sortie la résistance de l'air"
            },
            {
              "insert": ".\n\n"
            },
            {
              "insert": "Questions"
            },
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              "insert": "\n",
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              }
            },
            {
              "insert": "\n\n1"
            },
            {
              "insert": ". Quelles sont les entrées et les sorties des deux applications linéaires dont vous disposez ?\n2"
            },
            {
              "insert": ". Comment pouvez"
            },
            {
              "insert": "-vous composer ces deux applications linéaires pour obtenir une application linéaire qui prend en entrée la poussée des moteurs et donne en sortie la résistance de l'air ?\n3"
            },
            {
              "insert": ". Vérifiez si l'application linéaire composée est bien linéaire en utilisant les propriétés des applications linéaires"
            },
            {
              "insert": "."
            }
          ]
        }
      }
    },
    {
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      "data": {
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              "insert": "Propriétés des Applications Linéaires",
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      "data": {
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          "ops": [
            {
              "insert": "Applications Linéaires et leurs Propriétés: Propriétés des Applications Linéaires",
              "attributes": {
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              }
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            {
              "insert": "\n\nLes applications linéaires sont des fonctions qui préservent les opérations mathématiques de base, telles que l'addition et la multiplication par un scalaire"
            },
            {
              "insert": ". Voici quelques propriétés importantes des applications linéaires:\n\n"
            },
            {
              "insert": " ",
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              }
            },
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              "insert": "Endomorphisme",
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                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": "*: Une application linéaire qui prend un espace vectoriel en entrée et en sortie est appelée un endomorphisme"
            },
            {
              "insert": ". Par exemple, la multiplication par un scalaire est un endomorphisme"
            },
            {
              "insert": ".\n"
            },
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              "insert": " ",
              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": "Isomorphisme",
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                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": "*: Une application linéaire qui est bijective "
            },
            {
              "insert": "(injective et surjective"
            },
            {
              "insert": ") est appelée un isomorphisme"
            },
            {
              "insert": ". Les isomorphes préservent la structure de l'espace vectoriel, ce qui signifie que si f est un isomorphisme, alors f"
            },
            {
              "insert": "(E"
            },
            {
              "insert": ") est isomorphe à E pour tout sous"
            },
            {
              "insert": "-espace vectoriel E"
            },
            {
              "insert": ".\n"
            },
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              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
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              "insert": "Automorphisme",
              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": "*: Un automorphisme est un isomorphisme d'un espace vectoriel sur lui"
            },
            {
              "insert": "-même"
            },
            {
              "insert": ". Les automorphismes sont souvent utilisés pour étudier les propriétés invariantes d'un espace vectoriel"
            },
            {
              "insert": ".\n\nEn résumé, les endomorphismes, isomorphes et automorphes sont des types d'applications linéaires qui préservent différentes propriétés des espaces"
            }
          ]
        }
      }
    },
    {
      "type": "exercise",
      "data": {
        "visibleAnswer": {
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              "insert": "1"
            },
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              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Exemple d'endomorphisme simple",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : Un exemple d'endomorphisme simple que l'on peut rencontrer dans des problèmes de symétrie est la symétrie centrale"
            },
            {
              "insert": ". La symétrie centrale est une transformation qui associe à chaque point d'une figure un autre point de la même figure, situé à une distance égale de l'origine de symétrie, mais dans la direction opposée"
            },
            {
              "insert": ". Par exemple, si l'on considère un point A"
            },
            {
              "insert": "(x, y"
            },
            {
              "insert": ") dans un plan cartésien, sa symétrie centrale par rapport à l'origine "
            },
            {
              "insert": "(0, 0"
            },
            {
              "insert": ") sera le point A'"
            },
            {
              "insert": "("
            },
            {
              "insert": "-x, "
            },
            {
              "insert": "-y"
            },
            {
              "insert": ")"
            },
            {
              "insert": ".\n2"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "L'application découverte est un endomorphisme",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : L'application découverte est un endomorphisme car elle transforme chaque point d'une figure en un autre point de la même figure"
            },
            {
              "insert": ". Par définition, un endomorphisme est une application qui prend une figure en entrée et produit une autre figure en sortie, en respectant les propriétés géométriques de la figure"
            },
            {
              "insert": ". Dans le cas de l'application découverte, elle prend un point en entrée et produit un autre point en sortie, en respectant les propriétés géométriques de la figure"
            },
            {
              "insert": ". Ainsi, l'application découverte est un endomorphisme"
            },
            {
              "insert": ".\n3"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Vérification de la linéarité de l'application",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : Pour vérifier si l'application découverte est linéaire, nous devons nous baser sur les propriétés des applications linéaires"
            },
            {
              "insert": ". Une application linéaire est une application qui respecte les opérations d'addition et de multiplication par un scalaire"
            },
            {
              "insert": ". Autrement dit, si f est une application linéaire, alors pour tous vecteurs u et v, et pour tout scalaire k, on doit avoir :\n\nf"
            },
            {
              "insert": "(u + v"
            },
            {
              "insert": ") = f"
            },
            {
              "insert": "(u"
            },
            {
              "insert": ") + f"
            },
            {
              "insert": "(v"
            },
            {
              "insert": ")\n\nf"
            },
            {
              "insert": "(k "
            },
            {
              "insert": "\\"
            },
            {
              "insert": " u) = k \\",
              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": " f"
            },
            {
              "insert": "(u"
            },
            {
              "insert": ")\n\nPour vérifier si l'application découverte est linéaire, nous devons donc vérifier si elle respecte ces propriétés"
            },
            {
              "insert": ". Supposons que l'application découverte soit notée F, et qu'elle transforme un point M"
            },
            {
              "insert": "(x, y"
            },
            {
              "insert": ") en un point M'"
            },
            {
              "insert": "(x', y'"
            },
            {
              "insert": ")"
            },
            {
              "insert": ". Nous devons vérifier si F respecte les propriétés ci"
            },
            {
              "insert": "-dessus"
            },
            {
              "insert": ".\n\n",
              "attributes": {
                "list": "bullet"
              }
            },
            {
              "insert": "Pour vérifier la première propriété, prenons deux points M1"
            },
            {
              "insert": "(x1, y1"
            },
            {
              "insert": ") et M2"
            },
            {
              "insert": "(x2, y2"
            },
            {
              "insert": "), et leur somme M1 + M2 = "
            },
            {
              "insert": "(x1 + x2, y1 + y2"
            },
            {
              "insert": ")"
            },
            {
              "insert": ". L'application F doit transformer cette somme en la somme des images des points, soit F"
            },
            {
              "insert": "(M1 + M2"
            },
            {
              "insert": ") = F"
            },
            {
              "insert": "("
            },
            {
              "insert": "(x1 + x2, y1 + y2"
            },
            {
              "insert": ")"
            },
            {
              "insert": ") = "
            },
            {
              "insert": "(x1' + x2', y1' + y2'"
            },
            {
              "insert": ")"
            },
            {
              "insert": ". De plus, l'application F doit également transformer chaque point individuellement, soit F"
            },
            {
              "insert": "(M1"
            },
            {
              "insert": ") = "
            },
            {
              "insert": "(x1', y1'"
            },
            {
              "insert": ") et F"
            },
            {
              "insert": "(M2"
            },
            {
              "insert": ") = "
            },
            {
              "insert": "(x2', y2'"
            },
            {
              "insert": ")"
            },
            {
              "insert": ". Si l'application F est linéaire, alors nous devons avoir :"
            },
            {
              "insert": "\n\nF"
            },
            {
              "insert": "(M1 + M2"
            },
            {
              "insert": ") = F"
            },
            {
              "insert": "(M1"
            },
            {
              "insert": ") + F"
            },
            {
              "insert": "(M2"
            },
            {
              "insert": ")\n\n"
            },
            {
              "insert": "(x1' + x2', y1' + y2'"
            },
            {
              "insert": ") = "
            },
            {
              "insert": "(x1', y1'"
            },
            {
              "insert": ") + "
            },
            {
              "insert": "(x2', y2'"
            },
            {
              "insert": ")\n\nEn comparant les deux équations, nous pouvons voir que si l'application F respecte la première propriété, alors elle doit également respecter la deuxième propriété"
            },
            {
              "insert": ". Ainsi, pour vérifier si l'application F est linéaire, nous devons vérifier si elle respecte la deuxième propriété"
            },
            {
              "insert": ".\n\n"
            },
            {
              "insert": " Pour vérifier la deuxième propriété, prenons un point M(x, y) et un scalaire k. L'application F doit transformer k \\",
              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": " M en k "
            },
            {
              "insert": "\\"
            },
            {
              "insert": " F(M), soit F(k \\",
              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": " M"
            },
            {
              "insert": ") = F"
            },
            {
              "insert": "(k "
            },
            {
              "insert": "\\"
            },
            {
              "insert": " (x, y)) = k \\",
              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": " F"
            },
            {
              "insert": "("
            },
            {
              "insert": "(x, y"
            },
            {
              "insert": ")"
            },
            {
              "insert": ")"
            },
            {
              "insert": ". De plus, l'application F doit également transformer le point M individuellement, soit F"
            },
            {
              "insert": "(M"
            },
            {
              "insert": ") = "
            },
            {
              "insert": "(x', y'"
            },
            {
              "insert": ")"
            },
            {
              "insert": ". Si l'application F est linéaire, alors nous devons avoir :\n\nF"
            },
            {
              "insert": "(k "
            },
            {
              "insert": "\\"
            },
            {
              "insert": " M) = k \\",
              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": " F"
            },
            {
              "insert": "(M"
            },
            {
              "insert": ")\n\nk "
            },
            {
              "insert": "\\"
            },
            {
              "insert": " F((x, y)) = k \\",
              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": " "
            },
            {
              "insert": "(x', y'"
            },
            {
              "insert": ")\n\nEn comparant les deux équations, nous pouvons voir que si l'application F respecte la deuxième propriété, alors elle doit également respecter la première propriété"
            },
            {
              "insert": ". Ainsi, pour vérifier si l'application F est linéaire, nous devons vérifier si elle respecte la deuxième propriété"
            },
            {
              "insert": ".\n\nEn conclusion, pour vérifier si l'application découverte est linéaire, nous devons vérifier si elle respecte les propriétés des applications linéaires"
            },
            {
              "insert": ". Si elle respecte ces propriétés, alors elle est linéaire"
            },
            {
              "insert": ". Sinon, elle n'est pas linéaire"
            },
            {
              "insert": "."
            }
          ]
        },
        "instructions": {
          "ops": [
            {
              "insert": "Mise en situation : Vous êtes un·e mathématicien·ne travaillant sur des problèmes de symétrie dans des figures géométriques"
            },
            {
              "insert": ". Vous avez découvert une application qui transforme chaque point d'une figure en un autre point de la même figure"
            },
            {
              "insert": ". Vous voulez vérifier si cette application est linéaire"
            },
            {
              "insert": ".\n\nQuestions :\n\n1"
            },
            {
              "insert": ". Donnez un exemple d'endomorphisme simple que vous pourriez rencontrer dans des problèmes de symétrie"
            },
            {
              "insert": ".\n2"
            },
            {
              "insert": ". Expliquez pourquoi l'application que vous avez découverte est un endomorphisme"
            },
            {
              "insert": ".\n3"
            },
            {
              "insert": ". Vérifiez si l'application que vous avez découverte est linéaire en utilisant les propriétés des applications linéaires"
            },
            {
              "insert": ". Justifiez votre réponse"
            },
            {
              "insert": "."
            }
          ]
        }
      }
    },
    {
      "type": "exercise",
      "data": {
        "visibleAnswer": {
          "ops": [
            {
              "insert": "1"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Vérification de la linéarité",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nPour vérifier si l'application est linéaire, nous devons vérifier si elle satisfait les deux propriétés suivantes :\n\n",
              "attributes": {
                "list": "bullet"
              }
            },
            {
              "insert": "Pour tout couple de vecteurs "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "(u, v)"
              }
            },
            {
              "insert": " de l'espace vectoriel "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "E"
              }
            },
            {
              "insert": ", l'application doit vérifier : "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f(u+v) = f(u) + f(v)"
              }
            },
            {
              "insert": "."
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "list": "bullet"
              }
            },
            {
              "insert": "Pour tout vecteur "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "u"
              }
            },
            {
              "insert": " de l'espace vectoriel "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "E"
              }
            },
            {
              "insert": " et tout scalaire "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\lambda"
              }
            },
            {
              "insert": ", l'application doit vérifier : "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f(\\lambda u) = \\lambda f(u)"
              }
            },
            {
              "insert": "."
            },
            {
              "insert": "\n\nSupposons que l'application "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f"
              }
            },
            {
              "insert": " soit définie sur l'espace vectoriel "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "E"
              }
            },
            {
              "insert": " et qu'elle soit bijective "
            },
            {
              "insert": "(c'est"
            },
            {
              "insert": "-à"
            },
            {
              "insert": "-dire qu'elle est un isomorphisme"
            },
            {
              "insert": ")"
            },
            {
              "insert": ". Nous allons vérifier si elle est linéaire en utilisant les deux propriétés ci"
            },
            {
              "insert": "-dessus"
            },
            {
              "insert": ".\n\n",
              "attributes": {
                "list": "bullet"
              }
            },
            {
              "insert": "Pour vérifier la première propriété, prenons deux vecteurs arbitraires "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "u"
              }
            },
            {
              "insert": " et "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "v"
              }
            },
            {
              "insert": " dans "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "E"
              }
            },
            {
              "insert": ". Nous avons :"
            },
            {
              "insert": "\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f(u+v) = f(u) + f(v)"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\nCela montre que l'application "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f"
              }
            },
            {
              "insert": " vérifie la première propriété de la linéarité"
            },
            {
              "insert": ".\n\n",
              "attributes": {
                "list": "bullet"
              }
            },
            {
              "insert": "Pour vérifier la deuxième propriété, prenons un vecteur arbitraire "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "u"
              }
            },
            {
              "insert": " dans "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "E"
              }
            },
            {
              "insert": " et un scalaire "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\lambda"
              }
            },
            {
              "insert": ". Nous avons :"
            },
            {
              "insert": "\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f(\\lambda u) = \\lambda f(u)"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\nCela montre que l'application "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f"
              }
            },
            {
              "insert": " vérifie la deuxième propriété de la linéarité"
            },
            {
              "insert": ".\n\nAinsi, si l'application "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f"
              }
            },
            {
              "insert": " est bijective "
            },
            {
              "insert": "(isomorphisme"
            },
            {
              "insert": "), alors elle est également linéaire"
            },
            {
              "insert": ".\n\n2"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Exemple d'isomorphisme",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nUn exemple d'application linéaire qui est un isomorphisme entre deux espaces vectoriels de dimensions finies est l'application identité"
            },
            {
              "insert": ". Soit "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "E"
              }
            },
            {
              "insert": " un espace vectoriel de dimension finie et "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f"
              }
            },
            {
              "insert": " l'application identité définie par "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f(u) = u"
              }
            },
            {
              "insert": " pour tout vecteur "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "u"
              }
            },
            {
              "insert": " dans "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "E"
              }
            },
            {
              "insert": ". L'application identité est clairement linéaire, car elle vérifie les deux propriétés de la linéarité :\n\n",
              "attributes": {
                "list": "bullet"
              }
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f(u+v) = u+v = f(u) + f(v)"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "list": "bullet"
              }
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f(\\lambda u) = \\lambda u = \\lambda f(u)"
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nDe plus, l'application identité est bijective, car elle est inversible et sa réciproque est également l'application identité"
            },
            {
              "insert": ". Ainsi, l'application identité est un isomorphisme entre l'espace vectoriel "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "E"
              }
            },
            {
              "insert": " et lui"
            },
            {
              "insert": "-même"
            },
            {
              "insert": ".\n\n3"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Propriétés des applications linéaires",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nLes applications linéaires sont des applications qui préservent les opérations d'addition et de multiplication par un scalaire"
            },
            {
              "insert": ". Plus précisément, une application "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f"
              }
            },
            {
              "insert": " d'un espace vectoriel "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "E"
              }
            },
            {
              "insert": " vers un autre espace vectoriel "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "F"
              }
            },
            {
              "insert": " est linéaire si elle vérifie les deux propriétés suivantes :\n\n",
              "attributes": {
                "list": "bullet"
              }
            },
            {
              "insert": "Pour tout couple de vecteurs "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "(u, v)"
              }
            },
            {
              "insert": " de l'espace vectoriel "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "E"
              }
            },
            {
              "insert": ", on a : "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f(u+v) = f(u) + f(v)"
              }
            },
            {
              "insert": "."
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "list": "bullet"
              }
            },
            {
              "insert": "Pour tout vecteur "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "u"
              }
            },
            {
              "insert": " de l'espace vectoriel "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "E"
              }
            },
            {
              "insert": " et tout scalaire "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\lambda"
              }
            },
            {
              "insert": ", on a : "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f(\\lambda u) = \\lambda f(u)"
              }
            },
            {
              "insert": "."
            },
            {
              "insert": "\n\nCes propriétés sont utilisées pour vérifier si une application est linéaire ou non"
            },
            {
              "insert": ". Si une application satisfait ces deux propriétés, alors elle est linéaire"
            },
            {
              "insert": ". Si elle ne satisfait pas l'une de ces propriétés, alors elle n'est pas linéaire"
            },
            {
              "insert": ".\n\n4"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Application pratique",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nLes propriétés des applications linéaires sont utilisées dans de nombreux domaines, notamment en informatique et en physique"
            },
            {
              "insert": ". En informatique, les applications linéaires sont utilisées pour transformer des données entre différents espaces vectoriels"
            },
            {
              "insert": ". Par exemple, en traitement du signal et de l'image, les applications linéaires sont utilisées pour appliquer des filtres à des signaux ou des images"
            },
            {
              "insert": ". En physique, les applications linéaires sont utilisées pour représenter des transformations entre différents espaces vectoriels, comme dans la mécanique quantique où les opérateurs linéaires représentent des observables physiques"
            },
            {
              "insert": ".\n\nEn résumé, les applications linéaires sont des outils mathématiques puissants qui sont utilisés dans de nombreux domaines pour transformer des données entre différents espaces vectoriels en préservant les opérations d'addition et de multiplication par un scalaire"
            },
            {
              "insert": "."
            }
          ]
        },
        "instructions": {
          "ops": [
            {
              "insert": "Mise en situation"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 2
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nVous êtes un mathématicien qui travaille sur les applications linéaires et leurs propriétés"
            },
            {
              "insert": ". Vous avez découvert une application qui semble être un isomorphisme, mais vous voulez vérifier si elle est réellement linéaire"
            },
            {
              "insert": ".\n\n"
            },
            {
              "insert": "Questions"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 2
              }
            },
            {
              "insert": "\n\n1"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Vérification de la linéarité",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : Pour vérifier si l'application est linéaire, vous devez vérifier si elle satisfait les deux propriétés suivantes :\n   "
            },
            {
              "insert": "- Pour tout couple de vecteurs "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "(u, v)"
              }
            },
            {
              "insert": " de l'espace vectoriel "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "E"
              }
            },
            {
              "insert": ", l'application doit vérifier : "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f(u+v) = f(u) + f(v)"
              }
            },
            {
              "insert": ".\n   "
            },
            {
              "insert": "- Pour tout vecteur "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "u"
              }
            },
            {
              "insert": " de l'espace vectoriel "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "E"
              }
            },
            {
              "insert": " et tout scalaire "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\lambda"
              }
            },
            {
              "insert": ", l'application doit vérifier : "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f(\\lambda u) = \\lambda f(u)"
              }
            },
            {
              "insert": ".\n\n   Vérifiez si l'application que vous avez découverte satisfait ces deux propriétés"
            },
            {
              "insert": ".\n\n2"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Exemple d'isomorphisme",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : Donnez un exemple d'application linéaire qui est un isomorphisme entre deux espaces vectoriels de dimensions finies"
            },
            {
              "insert": ".\n\n3"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Propriétés des applications linéaires",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : Expliquez les propriétés des applications linéaires et comment elles sont utilisées pour vérifier si une application est linéaire ou non"
            },
            {
              "insert": ".\n\n4"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Application pratique",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : Donnez un exemple concret d'application où les propriétés des applications linéaires sont utilisées dans un domaine autre que les mathématiques, par exemple en informatique ou en physique"
            },
            {
              "insert": "."
            }
          ]
        }
      }
    },
    {
      "type": "exercise",
      "data": {
        "visibleAnswer": {
          "ops": [
            {
              "insert": "1"
            },
            {
              "insert": ". Définition de l'application"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 1
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nL'application que j'ai découverte est une fonction qui prend en entrée un vecteur dans un espace vectoriel et renvoie un vecteur dans le même espace vectoriel"
            },
            {
              "insert": ". Cette application est bijective, c'est"
            },
            {
              "insert": "-à"
            },
            {
              "insert": "-dire qu'elle est injective et surjective, et son image réciproque est elle"
            },
            {
              "insert": "-même"
            },
            {
              "insert": ". En d'autres termes, pour tout vecteur "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "v"
              }
            },
            {
              "insert": " dans l'espace vectoriel, l'application "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f"
              }
            },
            {
              "insert": " vérifie "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f(f(v)) = v"
              }
            },
            {
              "insert": ". Cela signifie que l'application est un automorphisme de l'espace vectoriel"
            },
            {
              "insert": ".\n\n"
            },
            {
              "insert": "2"
            },
            {
              "insert": ". Vérification de la linéarité"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 1
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nPour vérifier si l'application est linéaire, je dois vérifier si elle satisfait les deux propriétés suivantes :\n\n"
            },
            {
              "insert": " ",
              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": "Additivité",
              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": "* : Pour tous vecteurs "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "u"
              }
            },
            {
              "insert": " et "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "v"
              }
            },
            {
              "insert": " dans l'espace vectoriel, l'application "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f"
              }
            },
            {
              "insert": " vérifie "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f(u + v) = f(u) + f(v)"
              }
            },
            {
              "insert": ".\n"
            },
            {
              "insert": " ",
              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": "Homothétie",
              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": "* : Pour tout vecteur "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "u"
              }
            },
            {
              "insert": " dans l'espace vectoriel et tout scalaire "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "k"
              }
            },
            {
              "insert": ", l'application "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f"
              }
            },
            {
              "insert": " vérifie "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f(ku) = kf(u)"
              }
            },
            {
              "insert": ".\n\nSi l'application satisfait ces deux propriétés, alors elle est linéaire"
            },
            {
              "insert": ".\n\n"
            },
            {
              "insert": "3"
            },
            {
              "insert": ". Exemple concret"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 1
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nUn exemple concret d'une application linéaire est la fonction qui prend en entrée un vecteur dans le plan et renvoie le vecteur résultant de la rotation de ce vecteur d'un angle fixe autour d'un point fixe"
            },
            {
              "insert": ". Cette application est linéaire car elle satisfait les propriétés d'additivité et d'homothétie"
            },
            {
              "insert": ".\n\nPour vérifier si cette application est un automorphisme, je dois vérifier si elle est bijective et si son image réciproque est elle"
            },
            {
              "insert": "-même"
            },
            {
              "insert": ". Dans ce cas, la fonction de rotation est bijective car elle est une bijection du plan dans lui"
            },
            {
              "insert": "-même"
            },
            {
              "insert": ". De plus, l'image réciproque de la fonction de rotation est elle"
            },
            {
              "insert": "-même, car la rotation d'un vecteur autour d'un point fixe est une opération réversible"
            },
            {
              "insert": ". Par conséquent, la fonction de rotation est un automorphisme du plan"
            },
            {
              "insert": ".\n\n"
            },
            {
              "insert": "4"
            },
            {
              "insert": ". Application générale"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 1
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nLes propriétés des applications linéaires sont utilisées dans de nombreux domaines des mathématiques et des sciences"
            },
            {
              "insert": ". En particulier, les applications linéaires sont utilisées pour définir des espaces vectoriels et pour étudier leurs propriétés"
            },
            {
              "insert": ". Les applications linéaires sont également utilisées pour définir des transformations linéaires, qui sont utilisées pour résoudre des problèmes dans des domaines tels que l'analyse numérique, la théorie des équations différentielles et la physique mathématique"
            },
            {
              "insert": ".\n\nEn outre, les automorphismes sont utilisés pour étudier les symétries et les invariances dans les mathématiques et les sciences"
            },
            {
              "insert": ". Les automorphismes linéaires sont utilisés pour étudier les symétries et les invariances dans les espaces vectoriels, et ils sont utilisés pour résoudre des problèmes dans des domaines tels que la géométrie algébrique, la théorie des groupes et la théorie des représentations"
            },
            {
              "insert": "."
            }
          ]
        },
        "instructions": {
          "ops": [
            {
              "insert": "Mise en situation"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 1
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nVous êtes un mathématicien qui travaille sur les propriétés des applications linéaires"
            },
            {
              "insert": ". Vous avez découvert une application qui semble être un automorphisme, c'est"
            },
            {
              "insert": "-à"
            },
            {
              "insert": "-dire une application qui est bijective et dont l'image réciproque est elle"
            },
            {
              "insert": "-même"
            },
            {
              "insert": ". Vous voulez vérifier si cette application est linéaire"
            },
            {
              "insert": ".\n\n"
            },
            {
              "insert": "Questions"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 1
              }
            },
            {
              "insert": "\n\n1"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Définition de l'application",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : Décrivez l'application que vous avez découverte et justifiez pourquoi vous pensez qu'elle est un automorphisme"
            },
            {
              "insert": ".\n2"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Vérification de la linéarité",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : Expliquez comment vous allez vérifier si l'application est linéaire"
            },
            {
              "insert": ". Quelles sont les propriétés que vous devez vérifier pour conclure que l'application est linéaire ?\n3"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Exemple concret",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : Donnez un exemple concret d'une application linéaire et expliquez comment vous pourriez vérifier si cette application est un automorphisme"
            },
            {
              "insert": ".\n4"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Application générale",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : Expliquez comment les propriétés des applications linéaires peuvent être utilisées pour résoudre des problèmes dans d'autres domaines de mathématiques ou de sciences"
            },
            {
              "insert": "."
            }
          ]
        }
      }
    },
    {
      "type": "text",
      "data": {
        "title": "Noyau et Image des Applications Linéaires",
        "content": {
          "ops": [
            {
              "insert": "Noyau et Image des Applications Linéaires",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
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                "header": 1
              }
            }
          ]
        }
      }
    },
    {
      "type": "text",
      "data": {
        "content": {
          "ops": [
            {
              "insert": "Noyau et Image des Applications Linéaires",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nLes applications linéaires sont des fonctions qui préservent les opérations de l'algèbre linéaire"
            },
            {
              "insert": ". Leur noyau et leur image sont deux concepts clés pour comprendre leur comportement"
            },
            {
              "insert": ".\n\nLe "
            },
            {
              "insert": "noyau",
              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": " d'une application linéaire "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f : E \\rightarrow F"
              }
            },
            {
              "insert": " est le sous"
            },
            {
              "insert": "-espace vectoriel de "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "E"
              }
            },
            {
              "insert": " constitué des éléments qui sont envoyés sur "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "0"
              }
            },
            {
              "insert": " par "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f"
              }
            },
            {
              "insert": ". En d'autres termes, le noyau de "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f"
              }
            },
            {
              "insert": " est l'ensemble des vecteurs "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "v"
              }
            },
            {
              "insert": " tels que "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f(v) = 0"
              }
            },
            {
              "insert": ". On le note souvent "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\text{ker}(f)"
              }
            },
            {
              "insert": ".\n\nL'"
            },
            {
              "insert": "image",
              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": " d'une application linéaire "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f : E \\rightarrow F"
              }
            },
            {
              "insert": " est le sous"
            },
            {
              "insert": "-espace vectoriel de "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "F"
              }
            },
            {
              "insert": " constitué des images des vecteurs de "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "E"
              }
            },
            {
              "insert": " sous "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f"
              }
            },
            {
              "insert": ". En d'autres termes, l'image de "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f"
              }
            },
            {
              "insert": " est l'ensemble des vecteurs "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "w"
              }
            },
            {
              "insert": " tels qu'il existe un vecteur "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "v"
              }
            },
            {
              "insert": " dans "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "E"
              }
            },
            {
              "insert": " tel que "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f(v) = w"
              }
            },
            {
              "insert": ". On le note souvent "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\text{im}(f)"
              }
            },
            {
              "insert": ".\n\nLe théorème de l'application linéaire dit que la dimension du noyau et la dimension de l'image d'une application linéaire"
            }
          ]
        }
      }
    },
    {
      "type": "exercise",
      "data": {
        "visibleAnswer": {
          "ops": [
            {
              "insert": "Solution"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 1
              }
            },
            {
              "insert": "\n\n"
            },
            {
              "insert": "1"
            },
            {
              "insert": ". Définition"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 2
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nLe noyau d'une application linéaire est l'ensemble des vecteurs qui sont transformés en le vecteur nul par l'application"
            },
            {
              "insert": ". En d'autres termes, c'est l'ensemble des vecteurs d'entrée qui ne produisent pas de sortie différente de zéro"
            },
            {
              "insert": ".\n\nPar exemple, considérons l'application linéaire "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f : \\mathbb{R}^2 \\rightarrow \\mathbb{R}"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": " définie par "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f\\begin{pmatrix} x \\\\ y \\end{pmatrix} = 2x + y"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": ". Le noyau de cette application est l'ensemble des vecteurs "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\begin{pmatrix} x \\\\ y \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": " tels que "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "2x + y = 0"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": ", c'est"
            },
            {
              "insert": "-à"
            },
            {
              "insert": "-dire "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\begin{pmatrix} x \\\\ y \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} -2t \\\\ t \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": " où "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "t \\in \\mathbb{R}"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": ". On peut écrire cela sous la forme "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\begin{pmatrix} x \\\\ y \\end{pmatrix} = t\\begin{pmatrix} -2 \\\\ 1 \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": ", ce qui montre que le noyau est l'ensemble des multiples d'un seul vecteur non nul"
            },
            {
              "insert": ".\n\n"
            },
            {
              "insert": "2"
            },
            {
              "insert": ". Vérification de la linéarité"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 2
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nPour vérifier si l'application "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": " est linéaire, nous devons montrer qu'elle satisfait les deux propriétés suivantes :\n\n1"
            },
            {
              "insert": ". Pour tout vecteur "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\begin{pmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": " dans "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\mathbb{R}^3"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": ", nous avons "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f\\begin{pmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 0 \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": ", ce qui est trivialement vrai"
            },
            {
              "insert": ".\n2"
            },
            {
              "insert": ". Pour tous vecteurs "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\begin{pmatrix} x_1 \\\\ y_1 \\\\ z_1 \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": " et "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\begin{pmatrix} x_2 \\\\ y_2 \\\\ z_2 \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": " dans "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\mathbb{R}^3"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": " et pour tout scalaire "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\lambda"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": ", nous avons :\n   "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f(\\lambda\\begin{pmatrix} x_1 \\\\ y_1 \\\\ z_1 \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix} x_2 \\\\ y_2 \\\\ z_2 \\end{pmatrix}) = \\lambda f\\begin{pmatrix} x_1 \\\\ y_1 \\\\ z_1 \\end{pmatrix} + f\\begin{pmatrix} x_2 \\\\ y_2 \\\\ z_2 \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n   Calculons les deux côtés de l'équation :\n   "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f(\\lambda\\begin{pmatrix} x_1 \\\\ y_1 \\\\ z_1 \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix} x_2 \\\\ y_2 \\\\ z_2 \\end{pmatrix}) = f\\begin{pmatrix} \\lambda x_1 + x_2 \\\\ \\lambda y_1 + y_2 \\\\ \\lambda z_1 + z_2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 2(\\lambda x_1 + x_2) - (\\lambda y_1 + y_2) + (\\lambda z_1 + z_2) \\\\ (\\lambda x_1 + x_2) + (\\lambda y_1 + y_2) - 2(\\lambda z_1 + z_2) \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n   "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "= \\begin{pmatrix} 2\\lambda x_1 + 2x_2 - \\lambda y_1 - y_2 + \\lambda z_1 + z_2 \\\\ \\lambda x_1 + x_2 + \\lambda y_1 + y_2 - 2\\lambda z_1 - 2z_2 \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n   "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "= \\lambda\\begin{pmatrix} 2x_1 - y_1 + z_1 \\\\ x_1 + y_1 - 2z_1 \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix} 2x_2 - y_2 + z_2 \\\\ x_2 + y_2 - 2z_2 \\end{pmatrix} = \\lambda f\\begin{pmatrix} x_1 \\\\ y_1 \\\\ z_1 \\end{pmatrix} + f\\begin{pmatrix} x_2 \\\\ y_2 \\\\ z_2 \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n   Comme les deux côtés de l'équation sont égaux, l'application "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": " est linéaire"
            },
            {
              "insert": ".\n\n"
            },
            {
              "insert": "3"
            },
            {
              "insert": ". Calcul du noyau"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 2
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nPour trouver le noyau de l'application "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": ", nous devons résoudre le système d'équations :\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\begin{cases} 2x - y + z = 0 \\\\ x + y - 2z = 0 \\end{cases}"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\nEn soustrayant la deuxième équation de la première, nous obtenons :\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "x - 3z = 0 \\Rightarrow x = 3z"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\nEn substituant "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "x = 3z"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": " dans la deuxième équation, nous avons :\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "3z + y - 2z = 0 \\Rightarrow y = z"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\nAinsi, le noyau de l'application "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": " est l'ensemble des vecteurs "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\begin{pmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": " tels que "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\begin{pmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\end{pmatrix} = t\\begin{pmatrix} 3 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": " où "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "t \\in \\mathbb{R}"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": ". On peut donc écrire le noyau sous la forme :\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\text{Noyau}(f) = \\left\\{\\begin{pmatrix} 3t \\\\ t \\\\ t \\end{pmatrix} \\mid t \\in \\mathbb{R}\\right\\}"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            }
          ]
        },
        "instructions": {
          "ops": [
            {
              "insert": "Mise en situation"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 1
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nVous êtes un·e mathématicien·ne travaillant dans un laboratoire de recherche en cryptographie"
            },
            {
              "insert": ". Vous devez vérifier si une application linéaire donnée est bien linéaire et déterminer son noyau"
            },
            {
              "insert": ".\n\n"
            },
            {
              "insert": "Questions"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 1
              }
            },
            {
              "insert": "\n\n1"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Définition",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : Qu'est"
            },
            {
              "insert": "-ce que le noyau d'une application linéaire ? Pouvez"
            },
            {
              "insert": "-vous donner un exemple simple d'une application linéaire et de son noyau ?\n2"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Vérification de la linéarité",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : Soit l'application linéaire "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f : \\mathbb{R}^3 \\rightarrow \\mathbb{R}^2"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": " définie par :\n   "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f\\begin{pmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 2x - y + z \\\\ x + y - 2z \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n   Vérifiez si cette application est linéaire en utilisant les propriétés des applications linéaires"
            },
            {
              "insert": ".\n3"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Calcul du noyau",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : Trouvez le noyau de l'application "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": " en résolvant le système d'équations :\n   "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\begin{cases} 2x - y + z = 0 \\\\ x + y - 2z = 0 \\end{cases}"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n   et en exprimant les solutions sous la forme d'un vecteur de "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\mathbb{R}^3"
              }
            },
            {
              "insert": "."
            }
          ]
        }
      }
    },
    {
      "type": "exercise",
      "data": {
        "visibleAnswer": {
          "ops": [
            {
              "insert": "Réponses"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 1
              }
            },
            {
              "insert": "\n\n"
            },
            {
              "insert": "1"
            },
            {
              "insert": ". Exemple d'image"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 2
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nSoit "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f : \\mathbb{R}^2 \\rightarrow \\mathbb{R}^2"
              }
            },
            {
              "insert": " l'application définie par :\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\nf\\begin{pmatrix} x \\\\ y \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 2x - y \\\\ x + y \\end{pmatrix}\n"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\nCette application peut être vue comme une transformation géométrique dans le plan"
            },
            {
              "insert": ". Par exemple, si nous appliquons "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f"
              }
            },
            {
              "insert": " à "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": ", nous obtenons :\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\nf\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 2 \\cdot 1 - 0 \\\\ 1 + 0 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 1 \\end{pmatrix}\n"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\nAinsi, l'image de "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": " par "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f"
              }
            },
            {
              "insert": " est "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\begin{pmatrix} 2 \\\\ 1 \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": ".\n\n"
            },
            {
              "insert": "2"
            },
            {
              "insert": ". Vérification de la linéarité"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 2
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nPour vérifier si "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f"
              }
            },
            {
              "insert": " est linéaire, nous devons montrer que "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f"
              }
            },
            {
              "insert": " satisfait les deux propriétés suivantes :\n\na"
            },
            {
              "insert": ") "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f(\\mathbf{u} + \\mathbf{v}) = f(\\mathbf{u}) + f(\\mathbf{v})"
              }
            },
            {
              "insert": " pour tous vecteurs "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\mathbf{u}"
              }
            },
            {
              "insert": " et "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\mathbf{v}"
              }
            },
            {
              "insert": " dans "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\mathbb{R}^2"
              }
            },
            {
              "insert": ".\n\nb"
            },
            {
              "insert": ") "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f(c\\mathbf{v}) = c f(\\mathbf{v})"
              }
            },
            {
              "insert": " pour tout scalaire "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "c"
              }
            },
            {
              "insert": " et tout vecteur "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\mathbf{v}"
              }
            },
            {
              "insert": " dans "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\mathbb{R}^2"
              }
            },
            {
              "insert": ".\n\nCommençons par vérifier la propriété "
            },
            {
              "insert": "(a"
            },
            {
              "insert": ")"
            },
            {
              "insert": ". Soient "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\mathbf{u} = \\begin{pmatrix} u_1 \\\\ u_2 \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": " et "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\mathbf{v} = \\begin{pmatrix} v_1 \\\\ v_2 \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": " des vecteurs dans "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\mathbb{R}^2"
              }
            },
            {
              "insert": ". Alors :\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\nf(\\mathbf{u} + \\mathbf{v}) = f\\begin{pmatrix} u_1 + v_1 \\\\ u_2 + v_2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 2(u_1 + v_1) - (u_2 + v_2) \\\\ (u_1 + v_1) + (u_2 + v_2) \\end{pmatrix}\n"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\n= \\begin{pmatrix} 2u_1 + 2v_1 - u_2 - v_2 \\\\ u_1 + v_1 + u_2 + v_2 \\end{pmatrix}\n"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\n= \\begin{pmatrix} 2u_1 - u_2 \\\\ u_1 + u_2 \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix} 2v_1 - v_2 \\\\ v_1 + v_2 \\end{pmatrix}\n"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\n= f\\begin{pmatrix} u_1 \\\\ u_2 \\end{pmatrix} + f\\begin{pmatrix} v_1 \\\\ v_2 \\end{pmatrix}\n"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\n= f(\\mathbf{u}) + f(\\mathbf{v})\n"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\nAinsi, "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f"
              }
            },
            {
              "insert": " satisfait la propriété "
            },
            {
              "insert": "(a"
            },
            {
              "insert": ")"
            },
            {
              "insert": ".\n\nMaintenant, vérifions la propriété "
            },
            {
              "insert": "(b"
            },
            {
              "insert": ")"
            },
            {
              "insert": ". Soit "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "c"
              }
            },
            {
              "insert": " un scalaire et "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\mathbf{v} = \\begin{pmatrix} v_1 \\\\ v_2 \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": " un vecteur dans "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\mathbb{R}^2"
              }
            },
            {
              "insert": ". Alors :\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\nf(c\\mathbf{v}) = f\\begin{pmatrix} cv_1 \\\\ cv_2 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 2(cv_1) - (cv_2) \\\\ (cv_1) + (cv_2) \\end{pmatrix}\n"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\n= \\begin{pmatrix} 2cv_1 - cv_2 \\\\ cv_1 + cv_2 \\end{pmatrix}\n"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\n= c\\begin{pmatrix} 2v_1 - v_2 \\\\ v_1 + v_2 \\end{pmatrix}\n"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\n= c f\\begin{pmatrix} v_1 \\\\ v_2 \\end{pmatrix}\n"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\n= c f(\\mathbf{v})\n"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\nAinsi, "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f"
              }
            },
            {
              "insert": " satisfait également la propriété "
            },
            {
              "insert": "(b"
            },
            {
              "insert": ")"
            },
            {
              "insert": ".\n\nComme "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f"
              }
            },
            {
              "insert": " satisfait les deux propriétés "
            },
            {
              "insert": "(a"
            },
            {
              "insert": ") et "
            },
            {
              "insert": "(b"
            },
            {
              "insert": "), nous pouvons conclure que "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f"
              }
            },
            {
              "insert": " est une application linéaire"
            },
            {
              "insert": ".\n\n"
            },
            {
              "insert": "3"
            },
            {
              "insert": ". Autre exemple"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 2
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nSoit "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "g : \\mathbb{R}^3 \\rightarrow \\mathbb{R}^2"
              }
            },
            {
              "insert": " l'application définie par :\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\ng\\begin{pmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} x + y - z \\\\ x - y + z \\end{pmatrix}\n"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\nPour vérifier si "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "g"
              }
            },
            {
              "insert": " est linéaire, nous pouvons suivre le même processus que précédemment"
            },
            {
              "insert": ". Nous devons montrer que "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "g"
              }
            },
            {
              "insert": " satisfait les propriétés "
            },
            {
              "insert": "(a"
            },
            {
              "insert": ") et "
            },
            {
              "insert": "(b"
            },
            {
              "insert": ") mentionnées ci"
            },
            {
              "insert": "-dessus"
            },
            {
              "insert": ".\n\na"
            },
            {
              "insert": ") Soient "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\mathbf{u} = \\begin{pmatrix} u_1 \\\\ u_2 \\\\ u_3 \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": " et "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\mathbf{v} = \\begin{pmatrix} v_1 \\\\ v_2 \\\\ v_3 \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": " des vecteurs dans "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\mathbb{R}^3"
              }
            },
            {
              "insert": ". Alors :\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\ng(\\mathbf{u} + \\mathbf{v}) = g\\begin{pmatrix} u_1 + v_1 \\\\ u_2 + v_2 \\\\ u_3 + v_3 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} (u_1 + v_1) + (u_2 + v_2) - (u_3 + v_3) \\\\ (u_1 + v_1) - (u_2 + v_2) + (u_3 + v_3) \\end{pmatrix}\n"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\n= \\begin{pmatrix} u_1 + u_2 - u_3 + v_1 + v_2 - v_3 \\\\ u_1 - u_2 + u_3 + v_1 - v_2 + v_3 \\end{pmatrix}\n"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\n= \\begin{pmatrix} u_1 + u_2 - u_3 \\\\ u_1 - u_2 + u_3 \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix} v_1 + v_2 - v_3 \\\\ v_1 - v_2 + v_3 \\end{pmatrix}\n"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\n= g\\begin{pmatrix} u_1 \\\\ u_2 \\\\ u_3 \\end{pmatrix} + g\\begin{pmatrix} v_1 \\\\ v_2 \\\\ v_3 \\end{pmatrix}\n"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\n= g(\\mathbf{u}) + g(\\mathbf{v})\n"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\nAinsi, "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "g"
              }
            },
            {
              "insert": " satisfait la propriété "
            },
            {
              "insert": "(a"
            },
            {
              "insert": ")"
            },
            {
              "insert": ".\n\nb"
            },
            {
              "insert": ") Soit "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "c"
              }
            },
            {
              "insert": " un scalaire et "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\mathbf{v} = \\begin{pmatrix} v_1 \\\\ v_2 \\\\ v_3 \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": " un vecteur dans "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\mathbb{R}^3"
              }
            },
            {
              "insert": ". Alors :\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\ng(c\\mathbf{v}) = g\\begin{pmatrix} cv_1 \\\\ cv_2 \\\\ cv_3 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} cv_1 + cv_2 - cv_3 \\\\ cv_1 - cv_2 + cv_3 \\end{pmatrix}\n"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\n= \\begin{pmatrix} c(v_1 + v_2 - v_3) \\\\ c(v_1 - v_2 + v_3) \\end{pmatrix}\n"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\n= c\\begin{pmatrix} v_1 + v_2 - v_3 \\\\ v_1 - v_2 + v_3 \\end{pmatrix}\n"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\n= c g\\begin{pmatrix} v_1 \\\\ v_2 \\\\ v_3 \\end{pmatrix}\n"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\n= c g(\\mathbf{v})\n"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\nAinsi, "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "g"
              }
            },
            {
              "insert": " satisfait également la propriété "
            },
            {
              "insert": "(b"
            },
            {
              "insert": ")"
            },
            {
              "insert": ".\n\nComme "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "g"
              }
            },
            {
              "insert": " satisfait les deux propriétés "
            },
            {
              "insert": "(a"
            },
            {
              "insert": ") et "
            },
            {
              "insert": "(b"
            },
            {
              "insert": "), nous pouvons conclure que "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "g"
              }
            },
            {
              "insert": " est une application linéaire"
            },
            {
              "insert": "."
            }
          ]
        },
        "instructions": {
          "ops": [
            {
              "insert": "Mise en situation"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 1
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nVous êtes un·e étudiant·e en mathématiques et vous travaillez sur les applications linéaires et leurs propriétés"
            },
            {
              "insert": ". Vous devez donner un exemple d'image d'une application linéaire et vérifier si elle est linéaire"
            },
            {
              "insert": ".\n\n"
            },
            {
              "insert": "Questions"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 1
              }
            },
            {
              "insert": "\n\n1"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Exemple d'image",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : Donnez un exemple d'image d'une application linéaire en utilisant un exemple concret, comme une transformation géométrique dans le plan"
            },
            {
              "insert": ".\n2"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Vérification de la linéarité",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : Vérifiez si l'application linéaire que vous avez choisie est bien linéaire en utilisant les propriétés des applications linéaires"
            },
            {
              "insert": ".\n3"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Autre exemple",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : Trouvez un autre exemple d'application linéaire et vérifiez si elle est linéaire en utilisant les mêmes propriétés que précédemment"
            },
            {
              "insert": "."
            }
          ]
        }
      }
    },
    {
      "type": "text",
      "data": {
        "title": "Problématique et Lien avec les Matrices",
        "content": {
          "ops": [
            {
              "insert": "Problématique et Lien avec les Matrices",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 1
              }
            }
          ]
        }
      }
    },
    {
      "type": "text",
      "data": {
        "content": {
          "ops": [
            {
              "insert": "Applications Linéaires et leurs Propriétés: Problématique et Lien avec les Matrices",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nLes applications linéaires sont des fonctions qui préservent les opérations algébriques"
            },
            {
              "insert": ". Elles sont définies sur un espace vectoriel et ont pour image un autre espace vectoriel"
            },
            {
              "insert": ". Les applications linéaires sont souvent représentées par des matrices"
            },
            {
              "insert": ".\n\nUne base vectorielle est un ensemble de vecteurs générateurs d'un espace vectoriel"
            },
            {
              "insert": ". Elle permet de représenter tout vecteur de l'espace vectoriel comme une combinaison linéaire de ses vecteurs de base"
            },
            {
              "insert": ".\n\nLa matrice d'une application linéaire est obtenue en représentant les vecteurs de base de l'espace de départ et de l'espace d'arrivée dans des bases respectives"
            },
            {
              "insert": ". Les coefficients de la matrice sont les coordonnées des images des vecteurs de base de l'espace de départ dans la base de l'espace d'arrivée"
            },
            {
              "insert": ".\n\nLe lien entre les applications linéaires et les matrices est donc direct"
            },
            {
              "insert": ". Les matrices sont un outil pour représenter les applications linéaires dans des bases données"
            },
            {
              "insert": ". Elles permettent de calculer l'image d'un vecteur par une application linéaire en multipliant le vecteur par la matrice de l'application"
            },
            {
              "insert": "."
            }
          ]
        }
      }
    },
    {
      "type": "exercise",
      "data": {
        "visibleAnswer": {
          "ops": [
            {
              "insert": "1"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Définition",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : Une base vectorielle est un ensemble de vecteurs qui peuvent être utilisés pour exprimer tous les vecteurs d'un espace vectoriel"
            },
            {
              "insert": ". Les propriétés qui définissent une base vectorielle sont les suivantes :\n\t"
            },
            {
              "insert": " ",
              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": "Linéarité",
              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": "* : Les vecteurs de la base sont linéairement indépendants, ce qui signifie qu'il n'existe pas de combinaison linéaire non triviale des vecteurs de la base qui donne le vecteur nul"
            },
            {
              "insert": ".\n\t"
            },
            {
              "insert": " ",
              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": "Génération",
              "attributes": {
                "italic": true
              }
            },
            {
              "insert": "* : Tout vecteur de l'espace vectoriel peut être écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base"
            },
            {
              "insert": ".\n2"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Exemple",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : Un exemple de base vectorielle dans l'espace vectoriel "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\mathbb{R}^3"
              }
            },
            {
              "insert": " est l'ensemble "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\{\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{pmatrix}, \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{pmatrix}, \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{pmatrix}\\}"
              }
            },
            {
              "insert": ". Cette base est linéaire car les vecteurs sont linéairement indépendants, et elle génère l'espace vectoriel "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\mathbb{R}^3"
              }
            },
            {
              "insert": " car tout vecteur "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\begin{pmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": " peut être écrit comme une combinaison linéaire de ces vecteurs : "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\begin{pmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\end{pmatrix} = x\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{pmatrix} + y\\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\end{pmatrix} + z\\begin{pmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": ".\n3"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Vérification",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : Pour vérifier si une structure mathématique donnée est une base vectorielle, vous devez suivre les étapes suivantes :\n\t"
            },
            {
              "insert": "* Vérifiez que les vecteurs de la structure sont linéairement indépendants"
            },
            {
              "insert": ". Pour ce faire, vous pouvez utiliser le théorème de la base vectorielle, qui stipule qu'un ensemble de vecteurs est linéairement indépendant si et seulement si le déterminant de toute matrice carrée formée en prenant ces vecteurs comme colonnes est non nul"
            },
            {
              "insert": ".\n\t"
            },
            {
              "insert": "* Vérifiez que la structure peut générer l'espace vectoriel"
            },
            {
              "insert": ". Pour ce faire, vous pouvez utiliser le théorème de la base vectorielle, qui stipule qu'un ensemble de vecteurs est une base vectorielle si et seulement s'il est linéairement indépendant et s'il peut générer l'espace vectoriel"
            },
            {
              "insert": ".\n4"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Application",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : Si vous avez une matrice "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "A"
              }
            },
            {
              "insert": " et que vous voulez vérifier si ses colonnes forment une base vectorielle, vous pouvez suivre les étapes suivantes :\n\t"
            },
            {
              "insert": "* Vérifiez que les colonnes de la matrice sont linéairement indépendantes"
            },
            {
              "insert": ". Pour ce faire, vous pouvez utiliser le déterminant de la matrice "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "A"
              }
            },
            {
              "insert": ". Si le déterminant est non nul, alors les colonnes sont linéairement indépendantes"
            },
            {
              "insert": ".\n\t"
            },
            {
              "insert": "* Vérifiez que les colonnes de la matrice peuvent générer l'espace vectoriel"
            },
            {
              "insert": ". Pour ce faire, vous pouvez utiliser le théorème de la base vectorielle"
            },
            {
              "insert": ". Si les colonnes sont linéairement indépendantes et si la dimension de l'espace vectoriel est égale au nombre de colonnes de la matrice, alors les colonnes peuvent générer l'espace vectoriel"
            },
            {
              "insert": "."
            }
          ]
        },
        "instructions": {
          "ops": [
            {
              "insert": "Mise en situation"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 1
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nVous êtes un·e mathématicien·ne travaillant sur un projet de recherche en algèbre linéaire"
            },
            {
              "insert": ". Vous avez découvert une nouvelle structure mathématique que vous suspectez d'être une base vectorielle"
            },
            {
              "insert": ". Pour vérifier si c'est le cas, vous devez vérifier si elle satisfait les propriétés de base vectorielle"
            },
            {
              "insert": ".\n\n"
            },
            {
              "insert": "Questions"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 1
              }
            },
            {
              "insert": "\n\n1"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Définition",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : Qu'est"
            },
            {
              "insert": "-ce qu'une base vectorielle et quelles sont les propriétés qui la définissent ?\n2"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Exemple",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : Donnez un exemple de base vectorielle dans l'espace vectoriel "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\mathbb{R}^3"
              }
            },
            {
              "insert": " et expliquez pourquoi elle est linéaire"
            },
            {
              "insert": ".\n3"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Vérification",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : Comment vérifier si une structure mathématique donnée est une base vectorielle ? Quelles sont les étapes à suivre pour le faire ?\n4"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Application",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : Si vous avez une matrice "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "A"
              }
            },
            {
              "insert": " et que vous voulez vérifier si ses colonnes forment une base vectorielle, comment pouvez"
            },
            {
              "insert": "-vous le faire ? Quelles sont les étapes à suivre pour le faire ?"
            }
          ]
        }
      }
    },
    {
      "type": "exercise",
      "data": {
        "visibleAnswer": {
          "ops": [
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              "insert": "Réponses"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 1
              }
            },
            {
              "insert": "\n\n"
            },
            {
              "insert": "1"
            },
            {
              "insert": ". Définition"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 2
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nUne application linéaire, également appelée fonction linéaire ou transformation linéaire, est une fonction qui préserve les opérations d'addition et de multiplication par un scalaire"
            },
            {
              "insert": ". Autrement dit, si "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f"
              }
            },
            {
              "insert": " est une application linéaire, alors pour tous les vecteurs "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "u"
              }
            },
            {
              "insert": " et "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "v"
              }
            },
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              "insert": ", et pour tout scalaire "
            },
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                "formula": "\\lambda"
              }
            },
            {
              "insert": ", on a :\n\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f(u + v) = f(u) + f(v)"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f(\\lambda u) = \\lambda f(u)"
              }
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              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nUn exemple simple d'application linéaire est la fonction qui multiplie chaque élément d'un vecteur par un même scalaire"
            },
            {
              "insert": ". Par exemple, si "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "v = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 2 \\\\ 3 \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": ", alors l'application linéaire "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f(v) = 2v"
              }
            },
            {
              "insert": " donne :\n\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "f(v) = 2 \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 2 \\\\ 3 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 2 \\\\ 4 \\\\ 6 \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n\n"
            },
            {
              "insert": "2"
            },
            {
              "insert": ". Matrice linéaire"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 2
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nUne matrice est dite linéaire si elle représente une application linéaire"
            },
            {
              "insert": ". Autrement dit, si une matrice "
            },
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                "formula": "A"
              }
            },
            {
              "insert": " est linéaire, alors pour tous les vecteurs "
            },
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                "formula": "u"
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            },
            {
              "insert": " et "
            },
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                "formula": "v"
              }
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            {
              "insert": ", et pour tout scalaire "
            },
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              "insert": {
                "formula": "\\lambda"
              }
            },
            {
              "insert": ", on a :\n\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "A(u + v) = Au + Av"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "A(\\lambda u) = \\lambda Au"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nPour vérifier si une matrice est linéaire, il suffit de vérifier si elle satisfait ces deux propriétés pour tous les vecteurs et tous les scalaires"
            },
            {
              "insert": ".\n\n"
            },
            {
              "insert": "3"
            },
            {
              "insert": ". Exemple"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 2
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nLa matrice "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "A"
              }
            },
            {
              "insert": " donnée est :\n\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "A = \\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 7 & 8 & 9 \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nPour vérifier si cette matrice est linéaire, nous allons vérifier si elle satisfait les deux propriétés mentionnées précédemment"
            },
            {
              "insert": ".\n\nPremièrement, pour tous les vecteurs "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "u"
              }
            },
            {
              "insert": " et "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "v"
              }
            },
            {
              "insert": ", et pour tout scalaire "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\lambda"
              }
            },
            {
              "insert": ", on a :\n\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "A(u + v) = Au + Av"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nPar exemple, si "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "u = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 2 \\\\ 3 \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": " et "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "v = \\begin{pmatrix} 4 \\\\ 5 \\\\ 6 \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": ", alors :\n\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "A(u + v) = A\\begin{pmatrix} 1 + 4 \\\\ 2 + 5 \\\\ 3 + 6 \\end{pmatrix} = A\\begin{pmatrix} 5 \\\\ 7 \\\\ 9 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1 \\cdot 5 + 2 \\cdot 7 + 3 \\cdot 9 \\\\ 4 \\cdot 5 + 5 \\cdot 7 + 6 \\cdot 9 \\\\ 7 \\cdot 5 + 8 \\cdot 7 + 9 \\cdot 9 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 47 \\\\ 99 \\\\ 171 \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "Au + Av = \\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 7 & 8 & 9 \\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 2 \\\\ 3 \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 7 & 8 & 9 \\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} 4 \\\\ 5 \\\\ 6 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1 \\cdot 1 + 2 \\cdot 2 + 3 \\cdot 3 \\\\ 4 \\cdot 1 + 5 \\cdot 2 + 6 \\cdot 3 \\\\ 7 \\cdot 1 + 8 \\cdot 2 + 9 \\cdot 3 \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix} 1 \\cdot 4 + 2 \\cdot 5 + 3 \\cdot 6 \\\\ 4 \\cdot 4 + 5 \\cdot 5 + 6 \\cdot 6 \\\\ 7 \\cdot 4 + 8 \\cdot 5 + 9 \\cdot 6 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 47 \\\\ 99 \\\\ 171 \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nOn peut voir que "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "A(u + v) = Au + Av"
              }
            },
            {
              "insert": ", donc la matrice "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "A"
              }
            },
            {
              "insert": " satisfait cette propriété"
            },
            {
              "insert": ".\n\nDeuxièmement, pour tous les vecteurs "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "u"
              }
            },
            {
              "insert": " et "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "v"
              }
            },
            {
              "insert": ", et pour tout scalaire "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\lambda"
              }
            },
            {
              "insert": ", on a :\n\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "A(\\lambda u) = \\lambda Au"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nPar exemple, si "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "u = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 2 \\\\ 3 \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": " et "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\lambda = 2"
              }
            },
            {
              "insert": ", alors :\n\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "A(\\lambda u) = A(2u) = A\\begin{pmatrix} 2 \\cdot 1 \\\\ 2 \\cdot 2 \\\\ 2 \\cdot 3 \\end{pmatrix} = A\\begin{pmatrix} 2 \\\\ 4 \\\\ 6 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1 \\cdot 2 + 2 \\cdot 4 + 3 \\cdot 6 \\\\ 4 \\cdot 2 + 5 \\cdot 4 + 6 \\cdot 6 \\\\ 7 \\cdot 2 + 8 \\cdot 4 + 9 \\cdot 6 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 32 \\\\ 72 \\\\ 144 \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n\n"
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\lambda Au = 2\\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 7 & 8 & 9 \\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 2 \\\\ 3 \\end{pmatrix} = 2\\begin{pmatrix} 1 \\cdot 1 + 2 \\cdot 2 + 3 \\cdot 3 \\\\ 4 \\cdot 1 + 5 \\cdot 2 + 6 \\cdot 3 \\\\ 7 \\cdot 1 + 8 \\cdot 2 + 9 \\cdot 3 \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 32 \\\\ 72 \\\\ 144 \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nOn peut voir que "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "A(\\lambda u) = \\lambda Au"
              }
            },
            {
              "insert": ", donc la matrice "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "A"
              }
            },
            {
              "insert": " satisfait cette propriété"
            },
            {
              "insert": ".\n\nComme la matrice "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "A"
              }
            },
            {
              "insert": " satisfait les deux propriétés mentionnées précédemment, elle est linéaire"
            },
            {
              "insert": ".\n\n"
            },
            {
              "insert": "4"
            },
            {
              "insert": ". Simulation"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 2
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nSi la matrice utilisée pour simuler les mouvements d'un avion n'est pas linéaire, cela peut entraîner des erreurs dans la simulation"
            },
            {
              "insert": ". Par exemple, si la matrice n'est pas linéaire, cela peut signifier que les mouvements de l'avion ne sont pas proportionnels aux commandes du pilote, ce qui peut entraîner des erreurs dans la simulation"
            },
            {
              "insert": ". Pour remédier à cela, il est important de vérifier que la matrice utilisée pour la simulation est linéaire"
            },
            {
              "insert": ". Si ce n'est pas le cas, il est possible de trouver une matrice équivalente qui est linéaire et qui peut être utilisée à la place"
            },
            {
              "insert": "."
            }
          ]
        },
        "instructions": {
          "ops": [
            {
              "insert": "Mise en situation"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 1
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nVous êtes un ingénieur en aéronautique travaillant sur un projet de simulation de vol"
            },
            {
              "insert": ". Vous devez vérifier si une matrice donnée, utilisée pour simuler les mouvements d'un avion, est linéaire"
            },
            {
              "insert": ".\n\n"
            },
            {
              "insert": "Questions"
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "header": 1
              }
            },
            {
              "insert": "\n\n1"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Définition",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : Qu'est"
            },
            {
              "insert": "-ce qu'une application linéaire ? Pouvez"
            },
            {
              "insert": "-vous donner un exemple simple d'application linéaire ?\n2"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Matrice linéaire",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : Qu'est"
            },
            {
              "insert": "-ce qu'une matrice linéaire ? Comment vérifier si une matrice est linéaire ?\n3"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Exemple",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : Voici une matrice 3x3 : "
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "A = \\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 4 & 5 & 6 \\\\ 7 & 8 & 9 \\end{pmatrix}"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": ". Vérifiez si cette matrice est linéaire en utilisant les propriétés des applications linéaires"
            },
            {
              "insert": ".\n4"
            },
            {
              "insert": ". "
            },
            {
              "insert": "Simulation",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": " : Si la matrice n'est pas linéaire, quelles pourraient être les conséquences sur la simulation de vol ? Comment pourriez"
            },
            {
              "insert": "-vous remédier à cela ?"
            }
          ]
        }
      }
    },
    {
      "type": "text",
      "data": {
        "content": {
          "ops": [
            {
              "insert": "Applications Linéaires et leurs Propriétés: Problématique et Lien avec les Matrices",
              "attributes": {
                "bold": true
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nUne application linéaire est une fonction qui préserve les opérations algébriques, c'est"
            },
            {
              "insert": "-à"
            },
            {
              "insert": "-dire qu'elle vérifie les propriétés suivantes:\n\n",
              "attributes": {
                "list": "bullet"
              }
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\forall x, y \\in \\mathbb{R}^n, \\forall \\lambda \\in \\mathbb{R}, f(x+y) = f(x) + f(y)"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "list": "bullet"
              }
            },
            {
              "insert": {
                "formula": "\\forall x \\in \\mathbb{R}^n, \\forall \\lambda \\in \\mathbb{R}, f(\\lambda x) = \\lambda f(x)"
              }
            },
            {
              "insert": "\n",
              "attributes": {
                "align": "center"
              }
            },
            {
              "insert": "\n\nLe noyau d'une application linéaire est l'ensemble des vecteurs qui sont envoyés sur le vecteur nul"
            },
            {
              "insert": ". Il peut être représenté par une matrice sous la forme de colonnes"
            },
            {
              "insert": ".\n\nL'image d'une application linéaire est l'ensemble des images des vecteurs de son domaine"
            },
            {
              "insert": ". Elle peut être représentée par une matrice sous la forme de lignes"
            },
            {
              "insert": ".\n\nLe théorème de l'image et du noyau permet de déterminer la dimension de l'espace image et du noyau à partir de la matrice de l'application linéaire"
            },
            {
              "insert": ".\n\nUne application linéaire est injective si elle est bijective, c'est"
            },
            {
              "insert": "-à"
            },
            {
              "insert": "-dire si elle est bijective de son noyau sur son image"
            },
            {
              "insert": ". Elle est surjective si"
            }
          ]
        }
      }
    }
  ]
}